Warum 2 Basen für Tensoren

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Frank2023 Auf diesen Beitrag antworten »
Warum 2 Basen für Tensoren
Hallo,

ich habe mich ausführlich mit Tensoren bis hin zur Anwendung in der Allgemeinen Relativitätstheorie beschäftigt. Ich kann also mit Tensoren rechnen.

Dennoch ist mir nicht klar, warum man hier 2 zueinader duale Basen (kovariant und kontravariant) benötigt.

Zumal kovariant und kontravariant nichts mit der entsprechenden physikalischen Bedeutung zu tun hat: Schließlich kann ich jeden Tensor durch rauf- und runterziehen der Indizes kovariant oder kontravariant darstellen.

Ginge das nicht auch mit einer Basis? Nur funktioniert dann die Einsteinsche Summenkonvention nicht mehr so schön.

Danke
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematisch stecken Vektorräume und Dualräume dahinter. Dualräume sind die Vektorräume der Linearformen auf Vektorräumen. Das sind inhaltlich sehr unterschiedliche Dinge. Auch in der Physik sollte man meinen, dass Objekte eines Vektorraums etwas anderes sind als lineare Abbildungen des Vektorraums in den Grundkörper. Die Möglichkeit der Darstellung von Vektoren und Linearformen durch kovariante und kontravariante Komponentenvektoren wird durch die Lineare Algebra gewährleistet. In der Physik ergeben sich daraus dann die bequem handhabbaren Konventionen und Formalismen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Motivation für die Einführung von ko- und kontravarianten Koordinaten ist folgende:
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In den Formeln der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) treten oft Sklarprodukte auf. Dabei ist die Metrik des Raumes, und , sind irgendwelche Vierervektoren. Die Matrixelemente der Metrik sind oft komplizierte Ausdrücke. Diese will man in der Formeln unterdrücken, um die Schreibweise zu vereinfachen. Deshalb macht man folgenden "Trick": Man definiert den neuen Vektor . Damit vereinfacht sich das obige Skalarprodukt zu



Die Metrik G tritt wie gewünscht nicht mehr auf. Daraus folgt: Bei einer Koordinatentransformation des Faktors gemäß , muss sich der andere Faktor mit der kontragredienten Matrix transformieren, also . Nur in diesem Falle bleibt das Skalarprodukt invariant, wie es sein muss. Beweis:



Durch diese Schreibweise der Produkte wird der physikalische Inhalt der Formeln viel besser sichtbar, denn alle Produkte haben in jedem Koordinatensystem die gleiche Struktur (ohne die komplizierte und koordinatenabhängige Metrik). Zur weiteren Vereinfachung der Schreibweise legt man folgendes fest:

Erstens:
Alle Größen, die sich wie "normale" Vektorkoordinaten transformieren, werden als kontravariant bezeichnet und oben indiziert, also

Zweitens:
Alle Größen, die sich kontragredient zu den "normalen" Vektoren transformieren (also wie Basisvektoren), heißen kovariant und werden unten indiziert, also

Drittens:
In Skalarprodukten wird das Summezeichen weggelassen

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