Determinanten-Matrixgleichung

04.02.2023, 12:39

Mathestudent:)

Determinanten-Matrixgleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe folgende Matrix A, für die die Gleichung gelten muss (siehe Bild)

A= (a b
1 c)

Ps: ich habe Probleme mit der Eingabe der Matrix, ich hoffe ihr versteht mich trotzdem smile

Meine Ideen:
Ich habe mir zuerst überlegt, die Potenz 2 herauszuziehen und die Determinanten als Produkt auch auseinanderzugehen. Dann habe ich det(A(hoch2))*det(A+Einheitsmatrix)=1. Weil a,b,c nur ganze Zahlen sind (nach Voraussetzung) weis ich, dass die beiden Produkte jeweils auch 1 betragen.
Dann habe ich die zwei Determinanten ausgerechnet und komme auf zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Nur ist dieser Ansatz falsch.

Hat zufällig jemand von euch einen Tipp, wie man auf die Lösungen kommt?
Ich danke euch smile

04.02.2023, 12:46

HAL 9000

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Mit Rechenregel $\begin{eqnarray*} \det\left(U\cdot V\right) = \det\left(U\right) \cdot \det\left(V\right) \end{eqnarray*}$ bekommst du hier sofort

$\begin{eqnarray*} \det\left(A^3-A^2\right) = \det\left(A^2\left(A-E\right)\right) \stackrel{!}{=} \left(\det\left(A\right)\right)^2 \cdot \det\left(A-E\right) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix kennzeichnet. Damit kannst du relativ aufwandsarm die bewusste Determinante als Funktion von $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ darstellen.

Zitat:

Weil a,b,c nur ganze Zahlen sind (nach Voraussetzung) weis ich, dass die beiden Produkte jeweils auch 1 betragen.

Wenn es dir darum geht, alle ganzzahligen Lösungen $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ der Matrixgleichung $\begin{eqnarray*} \det\left(A^3-A^2\right) = 1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, dann gehören diese Voraussetzungen in die Aufgabenstellung und nicht irgendwo unter "Meine Ideen" versteckt. unglücklich

Nun mit $\begin{eqnarray*} \det\left(A\right) = ac-b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \det\left(A-E\right) = (a-1)(c-1)-b \end{eqnarray*}$ folgt dann das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \left|ac-b\right| = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-1)(c-1)-b = 1 \end{eqnarray*}$

1.Fall: $\begin{eqnarray*} ac-b=1 \end{eqnarray*}$

Hier ist dann $\begin{eqnarray*} 0 = ac-(a-1)(c-1) = a+c-1 \end{eqnarray*}$ , damit bekommt man die Lösungstripel

$\begin{eqnarray*} (a,b,c)=(k,k(1-k)-1,1-k) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: $\begin{eqnarray*} ac-b=-1 \end{eqnarray*}$

Hier ist dann $\begin{eqnarray*} -2 = ac-(a-1)(c-1) = a+c-1 \end{eqnarray*}$ , also die Lösungstripel

$\begin{eqnarray*} (a,b,c)=(k,-k(1+k)+1,-1-k) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

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