Flasche leer?

05.02.2023, 07:13

Dopap

Flasche leer?

Ich habe ein Problem mit folgender "Logikaufgabe":

Eine Flasche Bier wie z.b BECKS Bier ist 21 cm hoch. Nach dem ersten Schluck steht das Bier
noch 12cm hoch. Mit wieder aufgedrücktem Kronkorken aber 15 cm wenn die Flasche verkehrt
herum steht. Welcher relativen Anteil am Volumen hat das restliche Bier noch?

von mir humorlos physikalisch mittels 2 verschiedenen durchschnittlichen Querschnitten $\begin{eqnarray*} Q_1 ; Q_2 \end{eqnarray*}$ sowie 2 Gleichungen zu $\begin{eqnarray*} A_r=\frac 58 = 62.5 \% \end{eqnarray*}$ berechnet.

Der trickreiche logische Weg des Fragestellers kommt aber auf 2/3 = 66.67%.
( Mind your decision youTube Video L9XxPr3xuQU )

05.02.2023, 09:49

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Flasche leer?
Ohne das Video gesehen zu haben: Ich würde die Flasche der Höhe gemäß aufteilen: Volumen zwischen 0 und 6cm wird $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , Volumen zwischen 6cm und 12cm wird $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und 12cm bis 21cm wird $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ genannt.

Dann ist $\begin{eqnarray*} a+b+c = V \end{eqnarray*}$ das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der ganzen Flasche und $\begin{eqnarray*} a + b = \lambda V \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b +c = \lambda V \end{eqnarray*}$ das (relative) Volumen des Biers.

Daraus folgt direkt $\begin{eqnarray*} a = c \end{eqnarray*}$ und insgesamt $\begin{eqnarray*} a = c=(1 - \lambda )V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b = (2 \lambda - 1)V \end{eqnarray*}$ . An der Stelle verlässt mich die Phantasie. Die Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$ wäre äquivalent zu $\begin{eqnarray*} a=b=c \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe nicht warum das gelten sollte, wenigstens nicht ohne weitere Annahmen an die Form der Flasche zu stellen. verwirrt

05.02.2023, 13:29

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ganz normale Flasche. Bis über 12 cm hinaus ein Zylinder dann ein paar cm Verengung auf den engen Flaschenhals bis hoch zu 21 cm.

Sei V=1. Dann folgt bei mir für das Bier 5/8 und für die Luft 3/8 und damit $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac 58 \end{eqnarray*}$

Ansatz: bis 12 cm Zylinder mit $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ Die restlichen 9 cm Ersatzzylinder mit $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12cm \cdot Q_1=15cm\cdot Q_2 \end{eqnarray*}$ Bier=Bier !
$\begin{eqnarray*} 12 cm\cdot Q_1+(21cm -12cm )\cdot Q_2=1\text{ Liter} \end{eqnarray*}$ Bier+Luft=1 Liter

mMn kein "Matherätsel" sondern eine Physikaufgabe oder seit
geraumer Zeit Aufgabe im Sachzusammenhang genannt.

05.02.2023, 15:18

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen Ansatz, der eine $\begin{eqnarray*} 12+15 = 27 \end{eqnarray*}$ cm hohe Flasche voraussetzt. Ansonsten überschneiden sich deine Zylinder.

05.02.2023, 21:25

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das sind die beiden Bierhöhen (normal und umgedreht) und die ergeben addiert nicht die Flaschenhöhe.

06.02.2023, 11:26

reverend

Auf diesen Beitrag antworten »

So hübsch die Aufgabe auch klingt: ohne weitere Annahmen oder Angaben über die vorliegenden hinaus ist sie nicht lösbar.

Gegeben ist faktisch die Information, dass die "oberen 9cm" des Flaschenvolumens (klar, unpassende Bezeichnung, aber allgemein verständlich) genauso groß sind wie die "unteren 6cm", nicht aber, wie groß diese Volumina oder gar das Gesamtvolumen sind.

Selbst wenn wir für die Flasche einen Rotationskörper annehmen, gelingt noch keine Lösung, und die weitere Einschränkung "ohne Einschnürungen und Ausbeulungen" (also: Erzeugerkurve parallel zur Rotationsachse ist monoton fallend oder steigend; hier von unten nach oben gelesen fallend) genügt auch noch nicht.

Nehmen wir dann auch noch z.B. einen dünnen Zylinder von 9cm Höhe als Flaschenhals an und einen entsprechend "dickeren" von 6cm Höhe als unteres Flaschenende, so beantwortet die Aufgabenstellung nicht die Frage, wie die dazwischenliegenden 6cm der Flaschenhöhe gestaltet sind.
So ergibt sich selbst unter den o.g. Annahmen ein Lösungbereich, dessen Grenzen auf einer Annahme über die "fehlenden 6cm" beruht. Die eine Grenze ist erreicht, wenn dieser Zwischenbereich der Flasche komplett den unteren Durchmesser hat, die andere, wenn er komplett den oberen Durchmesser hat.

Ohne das Video überhaupt gesehen zu haben: die dort angegebene Lösung ist falsch, und die in der Anfrage genannte genau wie die gegebene eben nur eine der unendlich vielen möglichen.

06.02.2023, 13:31

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das Video stammt von Presh Talwalker mit 2.8 Mio Abonnenten
Der auch schon reichlich viele Videos mit deutlich schwereren
Problemen präsentiert hat.

Hier meine bildliche Darstellung der Sachlage. Für den Bereich der Anfangs leer ist, ist ein
Ersatz-Zylinder dargestellt. Die Flaschenform oberhalb des Bieres ist unerheblich, da dieses Volumen
nach dem rumdrehen sowieso vollständig (!) mit Bier gefüllt ist.

[attach]56788[/attach]

Ich muss mich revidieren, $\begin{eqnarray*} V=(12+6)Q_1 \end{eqnarray*}$ und das Bier Volumen ist $\begin{eqnarray*} V_B=12 Q_1 \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} \lambda =\frac {12Q_1}{18Q1}=\frac 23 \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): Identisches Bild entfernt.

06.02.2023, 13:48

reverend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sehr hübsch.
Nur steht in der Aufgabenstellung nicht, dass nach dem ersten Schluck "genau" der Flaschenhals leer ist. Diese Annahme liegt aber der Zeichnung zugrunde: der Hals ist leer, der eigentliche Korpus komplett voll.
Der Mittelbereich wird hier mit dem Korpusdurchmesser angenommen.
Jetzt rechne das doch nochmal, wenn du für den Mittelteil nur den Halsdurchmesser annimmst.

06.02.2023, 21:39

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von reverend
[...]
Nur steht in der Aufgabenstellung nicht, dass nach dem ersten Schluck "genau" der Flaschenhals leer ist. [...]

Nicht an der Aufgabenstellung herummäkeln! Wenn nicht klar ist wie eine Flasche Becks Bier nach
einem guten Schluck aussieht darf sich das Video gerne anschauen.

Nochmals: der gesamte mit Luft gefüllte Bereich in Position 1
wird durch einen virtuellen Zylinder mit dem Querschnitt Q2 ersetzt.

06.02.2023, 22:31

reverend

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nicht an der Aufgabenstellung herummäkeln! Wenn nicht klar ist wie eine Flasche Becks Bier nach einem guten Schluck aussieht darf sich das Video gerne anschauen.

Also, markentreue Mathematik kenne ich nicht. Ganz nebenbei, auch am Thema: Becks verwendet deutsche Normflaschen, in der Herstellungsgegend 0,33 l grün. Wenn ich deren Maße brauche, schlage ich sie nach.

Ich habe die Aufgabenstellung verstanden, einschließlich der von dir jetzt noch einmal hervorgehobenen Angabe.
Mir scheint eher, dass du bisher meine Erwiderung darauf noch nicht erfasst hast.

In der Grafik gibt es einen mittleren "überschneidungsbereich" von 6cm Höhe.
Wie dieser geformt ist (Annahme: zylindrisch) und welche Querschnittsgröße er hat (Annahme: wie "dickes Ende"), ist der Aufgabe nicht zu entnehmen. Du setzt Wissen ein, das über die Aufgabenstellung hinausgeht.

Und nebenbei: wer weiß, wie so eine 0,33 l-Normflasche (grün) bemessen ist, lacht sich über die Angabe kringelig, dass 9 cm Flüssigkeitssäule mit Halsdurchmesser 6 cm Flüssigkeitssäule mit Bodendurchmesser entsprechen sollen. Das wäre eine etwas klobige Proportion.

Wenn eine Aufgabe aber anhand der Aufgabenstellung nicht lösbar ist, muss man die Aufgabenstellung untersuchen und ggf. auch kritieren. Sie anhand der Lösung zu erweitern, ist jedenfalls keine mathematische Vorgehensweise.

09.02.2023, 11:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Modellierung der Bierflasche.

Das Bild zeigt eine grob ausgemessene Standard-Bierflasche (Innenmaße) ohne Wulst für den Kronkorken an der Öffnung.

[attach]56794[/attach]

Wir legen die Rotationsfläche wie im Bild in ein Koordinatensystem. In der Modellierung nehmen wir für $\begin{align*} -6 \leq x \leq 6 \end{align*}$ den Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 an, der bei $\begin{align*} x=-6 \end{align*}$ ein lokales Maximum und bei $\begin{align*} x=6 \end{align*}$ ein lokales Minimum besitzt. Der Wendepunkt dieses Graphen liegt dann auf der y-Achse beim Mittelwert der zugehörigen y-Werte, also bei $\begin{align*} \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{9}{10} \right) = \frac{39}{20} \end{align*}$ . Man erhält so den Ansatz

$\begin{align*} y = ax^3 + bx + \frac{39}{20} \end{align*}$

[attach]56795[/attach]

Für $\begin{align*} x=6 \end{align*}$ ist $\begin{align*} y=\frac{9}{10} \end{align*}$ und $\begin{align*} y'=0 \end{align*}$ , womit man $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ bestimmen kann. Die Rotationsfunktion ist somit $\begin{align*} f \end{align*}$ mit

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} 3, & -18 \leq x \leq -6 \\ \frac{7}{2880} x^3 - \frac{21}{80} x + \frac{39}{20}, & - 6 \leq x \leq 6 \end{cases} \end{align*}$ (in cm)

Die Flasche ist nicht ganz gefüllt. Nehmen wir an, daß der letzte Zentimeter frei bleibt, so berechnet sich das Volumen zu

$\begin{align*} V = \pi \int_{-18}^5 \left( f(x) \right)^2 ~ \dd x \approx 500{,}2 \end{align*}$ (in cm³)

Die Bierflasche faßt daher einen halben Liter.

Neue Frage »

Antworten »

Flasche leer?

Verwandte Themen