Keilprodukt und Identität von Binet-Cauchy

05.02.2023, 15:25	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Keilprodukt und Identität von Binet-Cauchy In einer älteren elektrotechnischen Veröffentlichung wird für eine Herleitung das Skalarprodukt zweier Kreuzprodukte zusammen mit der Lagrange-Identität benutzt. Letztere erlaubt es, das Ergebnis durch Produktmittelwerte gleichperiodischer Funktionen (Elemente der Gramschen Matrix) zu berechnen. Allerdings wird das Ergebnis dann fröhlich auch für mehr als dreidimensionale Vektoren verwendet, für die das Kreuzprodukt nicht definiert ist. Ich reime mir das so zusammen, dass dann die Binet-Cauchy-Identität im Hintergrund steht, deren Skalarproduktseite identisch mit jener der Lagrange-identität ist. Bei Binet-Cauchy taucht allerdings anstelle des Kreuzprodukts das Keilprodukt auf. Ich habe recherchiert, wie man das Keilprodukt zweier höherdimensionaler Vektoren berechnet, habe dabei aber nur alles über die Eigenschaften des Keilprodukts erfahren, vor allem ausgedrückt durch Keilprodukte. Ich weiß nicht mehr, wie ich mir das folgende Ergebnis zusammengestöpselt habe. Jedenfalls bin ich zu der Berechnungsformel $\begin{eqnarray} w=x \wedge y = x y^\text{T} - y x^\text{T} \end{eqnarray}$ gekommen. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sind Spaltenvektoren gleicher Dimension. Ist die Formel richtig, und kann man man die quadratische Matrix $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ als Tensor bezeichnen?
05.02.2023, 17:04	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \mathbf a, \mathbf b\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ kann man das äußere Produkt per $\begin{eqnarray} \mathbf a\wedge\mathbf b = 2\mathrm{Alt}_2(\mathbf a\otimes\mathbf b) = \mathbf a\otimes\mathbf b - \mathbf b\otimes\mathbf a \end{eqnarray}$ mit einem Tensor identifizieren. Sei $\begin{eqnarray} (\mathbf e_k)_{k=1}^n \end{eqnarray}$ die kanonische Basis. Für $\begin{eqnarray} \mathbf a = \sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf b = \sum_{k=1}^n b_k\mathbf e_k \end{eqnarray}$ findet sich die Formel $\begin{eqnarray} \mathbf a\wedge\mathbf b = \sum_{i,j\colon i<j} (a_ib_j-a_j b_i)\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j. \end{eqnarray}$ Das äußere Produkt entspricht insofern einem antisymmetrischen Tensor. Diese Beziehung wird bspw. in der Elektrodynamik genutzt, um Rechnungen mit dem Feldstärketensor über Differentialformen darzustellen. Für weitergehende Ausführungen, wirf mal einen Blick auf diese Lektüre: Alex Kritchevsky: Exterior Algebra Notes #2: the Inner Product. Blogartikel, 9. Oktober 2018.
05.02.2023, 18:38	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Finn_, dann lag ich ja einigermaßen richtig.

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