Punktweise Konvergenz

05.02.2023, 21:01	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise Konvergenz Meine Frage: Es geht um die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n=2n((2x)^\frac{1}{n}-1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\geq 1 \end{eqnarray}$ . Man soll die punktweise Konvergenz zeigen und die Grenzfunktion angeben. Meine Ideen: Zuerst habe ich gedacht, dass die Grenzfunktion einfach 0 ist, aber nach Überprüfung mit einem CAS scheint das nicht die richtige Lösung zu sein. Bisher hatten wir nur Beispiele wo die Grenzfunktion sehr überschaubar war, eigentlich immer konstant. Deshalb habe ich hiermit ein Problem.
06.02.2023, 07:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution $\begin{eqnarray} t=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ergibt zusammen mit L'Hospital $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} 2n\left((2x)^{\frac{1}{n}}-1\right) = \lim_{t\to 0+} 2\frac{(2x)^t-1}{t} = \lim_{t\to 0+} 2(2x)^t\cdot \ln(2x) = 2\ln(2x) \end{eqnarray}$ .
06.02.2023, 10:53	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Die punktweise Konvergenz ist somit einfach zu zeigen. Nun ist die gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [1,6] \end{eqnarray}$ zu untersuchen. Reicht dazu $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} 2n\left((2x)^{\frac{1}{n}}-1\right)-2\ln(2x) = \lim_{t\to 0+} 2\frac{(2x)^t-1}{t}-2\ln(2x) = \lim_{t\to 0+} 2(2x)^t\cdot \ln(2x)-2\ln(2x) = 0<br /> \end{eqnarray}$ ?
08.02.2023, 18:44	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gehe ich mal davon aus, dass es stimmt.
10.02.2023, 10:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, ich hatte den Thread etwas aus den Augen verloren: Das reicht sicher nicht, denn was du da aufschreibst, ist ja auch wieder nur die punktweise Konvergenz. Angesichts des kompakten Intervalls $\begin{eqnarray} [1,6] \end{eqnarray}$ sowie der stetigen Grenzfunktion wäre z.B. folgendes hinreichend: Sind für alle $\begin{eqnarray} x\in [1,6] \end{eqnarray}$ die Folgen $\begin{eqnarray} n\mapsto f_n\left(x\right) \end{eqnarray}$ monoton (dabei ist es gleichgültig, ob alle monoton wachsend oder alle monoton fallend sind), dann ist $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ auf diesem Intervall gleichmäßig konvergent gegen $\begin{eqnarray} f(x)=2\ln(2x) \end{eqnarray}$ . (Genau genommen würde es auch reichen, wenn diese Monotonie erst ab einem gewissen Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gilt, allerdings darf dieser Index nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhängen.)

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