Konvergenzradius

06.02.2023, 21:01

Arith1

Konvergenzradius

Meine Frage:
Wie bestimme ich den konverganzradius folgender Reihe. Das Quadrat verunsichert mich etwas. Ich denke ich kann nicht einfach die Formel von Cauchy Hadamard anwenden. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} 4^kx^{k^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ohne das Quadrat wäre der konvergenzradius ja 1/4

06.02.2023, 21:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Arith1
Ich denke ich kann nicht einfach die Formel von Cauchy Hadamard anwenden.

Doch, eigentlich schon - wenn du es richtig tust. Das Ergebnis ist dann aber nicht 1/4, sondern 1.

06.02.2023, 22:25

Arith1

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Ich habe probiert die Folge anzupassen, wenn das so geht und komme auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{4^{\sqrt{k} } } \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist nur die Frage wie man den berechnet.

06.02.2023, 22:33

HAL 9000

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Stimmmt soweit. Nun ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{4^{\sqrt{k}}} = \left(4^{\sqrt{k}}\right)^{\frac{1}{k}} = 4^{\frac{\sqrt{k}}{k}}= 4^{\frac{1}{\sqrt{k}}} \end{eqnarray*}$ , kommst du damit weiter?

06.02.2023, 22:39

Arith1

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Ja, alles klar. Danke für die Hilfe

07.02.2023, 06:15

Leopold

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Ist $\begin{align*} a_n \end{align*}$ der Koeffizient von $\begin{align*} x^n \end{align*}$ in der Potenzreihendarstellung, so kommt es hier nur auf die Teilfolge an, bei der $\begin{align*} n = k^2 \end{align*}$ eine Quadratzahl ist, da alle andern $\begin{align*} a_n \end{align*}$ verschwinden. Für den Konvergenzradius $\begin{align*} R \end{align*}$ gilt daher:

$\begin{align*} \frac{1}{R} = \varlimsup_{n \rightarrow \infty} {a_n}^{\frac{1}{n}} = \lim_{k\to \infty} \left( 4^k \right)^{\frac{1}{k^2}} = \lim_{k \to \infty} 4^{\frac{1}{k}} = 1 \end{align*}$

07.02.2023, 08:25

HAL 9000

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Ja, das $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{4^{\sqrt{k}}} \end{eqnarray*}$ von Arith1 ist genau genommen nicht exakt Cauchy-Hadamard, denn es geht ja nicht um die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 4^{\sqrt{k}} x^k \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases} 4^{\sqrt{k}} &\mbox{ für }\sqrt{k}\in\mathbb{N}_0\\ 0 &\mbox{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$ . Und zu bestimmen ist dann der $\begin{eqnarray*} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{a_k} \end{eqnarray*}$ , der nun aber mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{4^{\sqrt{k}}} \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

In dem Sinne hat Arith1 (hoffentlich des Problems bewusst) oben eine kleine Abkürzung in der Darstellung genommen. Augenzwinkern

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Eine andere Möglichkeit wäre schlicht das "normale" Quotientenkriterium: Betrachten wir den Quotient aufeinander folgender Reihenglieder

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \frac{4^{k+1} |x|^{(k+1)^2}}{4^k |x|^{k^2}} = 4 |x|^{2k+1} \end{eqnarray*}$ .

Für jedes $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 4 |x|^{2k+1}\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ und damit Konvergenz.

Für $\begin{eqnarray*} |x|\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist hingegen $\begin{eqnarray*} 4 |x|^{2k+1}\geq 4 > 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , und damit Divergenz.

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