Untergruppe

08.02.2023, 11:49

TestSubjekt

Untergruppe

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich Gruppen und dementsprechend Untergruppen verstanden habe. Ich hab mal die Aufgabe als Anhang hochgeladen. Fragestellung war, ob die Aufgabe (siehe Bild) wahr oder falsch ist.

Ich hab die Untergruppe nach unterschiedlichen Kritieren untersucht:

- neutrales Element sollte ja 0 sein: M + 0 = M
- Inverse wäre -M: M - M = 0
- Abgeschlossenheit sollte auch gegeben sein, da alle Mengen von M element der ganzen Zahlen sein sollten.
- bzgl. der Assoziativität wüsste ich nicht, wie ich das untersuchen soll.

Meiner Meinung nach wäre dann (M, +) eine Untergruppe von (Z, +).
Oder seh ich das falsch?

08.02.2023, 12:52

Elvis

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Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} M=\{(-1)^i\cdot i: i\in \mathbb N_0\} \end{eqnarray*}$ ?
Abgeschlossenheit ? Ist $\begin{eqnarray*} (-1)^1\cdot 1+(-1)^2\cdot 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

08.02.2023, 13:28

TestSubjekt

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Danke erstmal für die rasche Antwort.

Zitat:

Original von Elvis
Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} M=\{(-1)^i\cdot i: i\in \mathbb N_0\} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das meinte ich mit M

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} (-1)^1\cdot 1+(-1)^2\cdot 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

Daran habe ich gar nicht gedacht. Deiner Rechnung nach würde 1 ergeben. Demnach wäre die Abgeschlossenheit nicht gegeben, weil die Verknüpfung kein Element von M ist. Ist dann die Untergruppe gar keine Gruppe, weil sie die Bedingung nicht erfüllt?

08.02.2023, 14:39

Elvis

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Genau so ist es.
Man weiß, dass Untergruppen von $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ genau die Untergruppen $\begin{eqnarray*} (m\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ sind.

08.02.2023, 17:10

TestSubjekt

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Vielen lieben Dank. Jetzt versteh ich das um einiges besser.

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