Binomialverteilung

09.02.2023, 11:01

loosm

Binomialverteilung

Ich habe mich mit der Binomialverteilung beschäftigt und für den Fall das man mit einem Würfel 4 mal hintereinander würfelt habe ich mir die Ergebnisse auf einen Rechner für die Binomialverteilung angeschaut welchen ich auf der Mathe Seite von Arndt Brünner unter der Zwischenüberschrift : Stochastik unter der Zwischenüberschrift : Alte Rechner gefunden hatte.

Wenn ich dort p = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ und N = 4 und k= 1 eingebe und mir unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} P\left(x\geq k\right) = 0,5177 \end{eqnarray*}$ die Tabelle anzeigen lasse, verstehe ich nicht wie die Werte für die verschiedenen K zustande gekommen sind.

Bei der Frage wie man unter dieser Bedingung so eine Tabelle erstellt, habe ich selbst im Internet nach einer Anwort gesucht und auf der Suche nach dieser in einem Video von der Seite https://studyflix.de/ die Information gefunden :

Höchstens K Treffer bedeuten das $\begin{eqnarray*} P\left(x\leq k\right) \end{eqnarray*}$ gesucht wird dies wird durch die folgende Formel beschrieben :

$\begin{eqnarray*} P\left(x\leq k\right)= \sum\limits_{i=0}^{k} {n \choose i}\cdot p^{i}\cdot\left(1-p\right)^{n-i} \end{eqnarray*}$

Mindestens K Treffer bedeuten das $\begin{eqnarray*} P\left(x\geq k\right) \end{eqnarray*}$ gesucht wird
dies wird durch die folgende Formel beschrieben wird :
$\begin{eqnarray*} P\left(x\geq k\right) = 1 - P\left(x\leq k -1\right) \end{eqnarray*}$

Mir ist aber nicht klar wie ich diese Formel so mit Zahlen befüllen kann so das so eine Tabelle entstehen kann, wie ich sie auf der Mathe Seite von Arndt Brünner gefunden habe.
Der einzige Wert den ich nachvollziehen kann ist der für k= 1
Weil ich den schon mal in meinem Beitrag Das De-Méré-Paradoxon und der andere Weg berechnet hatte.

09.02.2023, 11:23

G090223

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RE: Eine Frage zur Binomialverteilung
P(k>=1) = P(k=1)+P(k=2)+P(k=3)+P(k=4)
Der Rechner macht das in einem Aufwasch d.h. er rechnet es flugs zusammen.

Per Hand muss du das einzeln rechnen.
Dabei empfiehlt sich oft das Gegenereignis, wenn der Rechenaufwand geringer ist.

P(k>=1) = 1-P(K=0)
Du musst nur einmal rechnen. P(k=0) = (5/6)^4

09.02.2023, 18:23

loosm

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RE: Eine Frage zur Binomialverteilung
Die Tabelle die ich sehe wenn ich Wenn ich unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} P\left(x\geq k\right) = 0,5177 \end{eqnarray*}$ dort p = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ N = 4 und k= 1 eingebe sieht genau so aus :

k P(X>=k)
0 1
1 0,51774691358
2 0,131944444444
3 0,016203703704
4 0,000771604938

ich will genau das Zustandekommen der Werte für k = 2 und 3 und 4 verstehen.

Wenn ich über das Gegenereignis rechne, sehe ich ganz andere Zahlen

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{5}{6} \right)^{4} =0,1577 \\ 1-\left(\frac{4}{6} \right)^{4} = 0,8024 \\ 1-\left(\frac{3}{6} \right)^{4} =0,9375 \\ 1-\left(\frac{2}{6} \right)^{4} =9876 \end{eqnarray*}$

09.02.2023, 18:31

loosm

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oh ein kleiner Schreibfehler, natürlich wahr gemeint $\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{2}{6} \right)^{4} =0,9876 \end{eqnarray*}$

09.02.2023, 19:07

Helferlein

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RE: Eine Frage zur Binomialverteilung

Zitat:

Original von loosm

Wenn ich über das Gegenereignis rechne, sehe ich ganz andere Zahlen

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{5}{6} \right)^{4} =0,1577 \\ \end{eqnarray*}$

Ich weiss ja nicht was Du eingibst, aber ich komme auf den Wert in der Tabelle.
$\begin{eqnarray*} 1- \left(\frac 56 \right)^4=1-0,4822=0,5178 \end{eqnarray*}$

Bei den übrigen Rechnungen solltest Du den Weg überprüfen.

09.02.2023, 19:17

HAL 9000

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@loosm

Warum rechnest du denn überhaupt in der Weise??? Du hast doch selbst oben geschrieben, wie diese Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung zu berechnen sind:

Entweder gemäß $\begin{eqnarray*} P\left(X\geq k\right) = \sum_{i=k}^n \binom{n}{i} p^i \left(1-p\right)^{n-i} \end{eqnarray*}$ oder aber über das Komplement dann mit Formel $\begin{eqnarray*} P\left(X\geq k\right) = 1- \sum_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} p^i \left(1-p\right)^{n-i} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n=4,p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ heißt das also $\begin{eqnarray*} P\left(X\geq k\right) = \frac{1}{6^4} \sum_{i=k}^4 \binom{4}{i} 5^{n-i} = 1- \frac{1}{6^4}\sum_{i=0}^{k-1} \binom{4}{i} 5^{n-i} \end{eqnarray*}$ . (*)

Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ bedeutet dies $\begin{eqnarray*} P(X\geq 1) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \end{eqnarray*}$ , ja, aber deine "Analogie", dann auch $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2) \stackrel{?}{=} 1 - \left(\frac{4}{6}\right)^4 \end{eqnarray*}$ zu rechnen ist einfach nur ohne Grund an den Haaren herbeigezogen und auch grottenfalsch. Rechne doch einfach gemäß (*), statt diesen Unsinn weiter zu verfolgen.

10.02.2023, 12:26

loosm

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Meine Frage hat sich erledigt, ich habe es gestern begriffen nach dem ich auf die Idee kam nochmal bei Youtube nach einer Erklärung zu suchen, habe ich in einem Video ein Beispiel gesehen wo konkret Zahlen in die Formel : $\begin{eqnarray*} P\left(x\geq k\right) = 1 - P\left(x\leq k -1\right) \end{eqnarray*}$
eingesetzt wurden, beim Vergleich der Zahlen innerhalb der Tabellen , ist mir klar geworden Das die Werte in der einen Tabelle nur die Werte in der anderen kumulierten Tabelle zur 1 ergänzen.

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