Legendre-DGL

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Maxim_m Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-DGL
Meine Frage:
Hallo allerseits!

Ich brauche Hilfe beim aufstellen der Legendre Polynome.

Also angenommen unsere DGL lautet:

(1-x^2) y''(x) - 2x y'(x) + l(l+1) y(x) = 0

dann können wir den Ansatz wählen y(x) = \sum a_n x^n

(das latex-format funktioniert irgendwie nicht)

Wenn wir nun einsetzen und ein bisschen umformen, kann man auf eine Rekursionsformel für die Koeffizienten a(n) kommen:

a(n+2) = [a(n)(n-k)(n+k+1)]/[(n+1)(n+2)]


Da wir als Index für a n+2 haben, können wir die Koeffizienten in zwei Gruppen unterteilen: mit geradem Index und ungeradem Index.

Wenn k nun ungerade ist, dann sind alle Koeffizienten a(n) mit geradem n ungleich 0 und wenn k gerade ist, dann sind alle Koeffizienten a(n) mit ungeradem n ungleich 0.

z.B.:
Fall k=1:

a(2) = a(0), a(4) = a(0)/3, ... (Koeffizienten mit geradem Index wegen k=1 ungleich 0)
a(3) = 0, a(5) = 0, ... (Koeffizienten mit ungeradem Index wegen k=1 gleich 0)

dementsprechend würde ich annehmen, dass das Legendre Polynom P1(x) = a(0) + a(1)x + a(2) x^2 + a(4) x^4 + a(6)x^6 + ... also unendlich weitergeht. Auf der Wikipedia steht aber, dass P1(x) = x ist.

Ich verstehe also nicht, weshalb bei Legendre Polynomen mit ungeradem Index l alle a(n) mit geradem n weggelassen werden bzw. vice versa bei Legendre Polynomen mit geradem Index l alle a(n) mit ungeradem Index n weggelassen werden.

Zunächst noch mal der Fall k= 2

Fall k=2:

a(2) = -3a(0), a(4) = 0, a(6) = 0, ... (Koeffizientem mit geradem Index und Index > 2 wegen k = 2 gleich 0)

a(3) = -2/3* a(1), a(5) = -a(1)/5, ... (Koeffizientem mit ungeradem Index wegen k = 2 ungleich 0)

Nun steht aber auf der Wikipedia Webseite, dass das Legendre Polynom P2(x) = 1/2 * (3x^2 - 1) ist und nicht P2(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + a(3)x^3 + a(5)x^5 + a(7)x^7 + ...

Wohin veschwinden bei Legendre Polynomen mit geraden Index l, die Koeffizienten mit ungeradem n bzw. bei Legendre Polynomen mit ungeradem Index l die Koeffizienten mit geradem Index l?



Meine Ideen:
Ich nehme an, dass der Grund dafür sein kann, dass die allgemeine Lösung für y(x) lautet:

yl(x) = A Pl(x) + B Ql(x)

l...Index

Und dass die Koeffizienten, die jeweils verschwinden in Ql(x) eingehen, aber ich dachte, dass Ql(x) kein Polynom sein soll.

Die Sache ist halt, wenn man die angegebene Rekursionsformel weiter umformt, dann kommt man ja zur Formel für die Legendre Polynome und hier kommen dann die richtigen Legendre Polynome raus.

Ich bin jetzt schon ziemlich lange dran und bin ehrlich gesagt etwas frustriert hahaha. Hoffe ihr könnt mir helfen!

mfg
Maxim
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage:
Ich verstehe also nicht, weshalb bei Legendre Polynomen mit ungeradem Index n alle Koeffizienten mit geradem n weggelassen werden bzw. vice versa bei Legendre Polynomen mit geradem Index n alle Koeffizienten mit ungeradem Index k weggelassen werden.

Antwort:
Die Legendresche Diffenrenzialgleichung lautet für einen bestimmten Wert n



Der Wert n ist eine natürliche Zahl und folglich entweder gerade oder ungerade. Die Rekursivformel für die Koeffizienten lautet



Wenn man sowohl die geraden Koeffizienten also auch die ungeraden Koeffizienten in die Summe aufnehmen würde, dann würden entweder nur die geraden oder nur die ungeraden Koeffizienten abbrechen (weil der Parameter n in der Differenzialgleichung entweder gerade oder ungerade ist). Insgesamt würde die Reihe also nicht abbrechen und an den Grenzen divergieren. Das soll nicht sein.
Maxim_m Auf diesen Beitrag antworten »

Also verstehe ich das richtig, dass ein Polynom nur die Lösung einer linear homogenen Dgl 2. Ordnung sein kann, wenn es bei x = -/+ 1 ungleich unendlich ist?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Umgekehrt: Die Lösungen der Differenzialgleichung an den Intervallgrenzen ist nur dann endlich, wenn das Polynom abbricht.

Diese Endlichkeit der Legendrepolynome bei wird gefordert, weil die Legendrepolynome normierbar sein müssen. Das bedeutet, dass das Integral über das Quadrat der Legendrepolynome endlich sein muss, also



Die Notwendigkeit dieser Normierbarkeit ergibt sich aus der Lösungstheorie des Sturm-Liouvilleschen Eigenwertproblems.
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