Primfaktorzerlegung von p+1

12.02.2023, 11:56

Romaxx

Primfaktorzerlegung von p+1

Hallo zusammen,

sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl größer 2.

Was kann ich über die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ schlußfolgern?

Eine Erkenntnis, die ich bereits gewonnen habe, ist, dass alle Primfaktoren ungleich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sein müssen.

Weiterhin muss $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ als gerade Zahl den Primfaktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ haben.

Weiterhin muss ein weiterer Primfaktor kleiner gleich $\begin{eqnarray*} (p+1)/2 \end{eqnarray*}$ sein.

Gibt es weitere interessante Sätze hierzu?

Danke, Romaxx

EDIT: siehe ersten Satz

12.02.2023, 13:17

Romaxx

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Hier ein Satz von Chatgpt:

... Einige spezielle Fälle sind jedoch bekannt, wie zum Beispiel, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Fermat-Primzahl ist (eine Primzahl der Form $\begin{eqnarray*} 2^{2^n} + 1 \end{eqnarray*}$ ), dann hat $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ genau zwei verschiedene Primfaktoren.

Stimmt das?

12.02.2023, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Romaxx
wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Fermat-Primzahl ist (eine Primzahl der Form $\begin{eqnarray*} 2^{2^n} + 1 \end{eqnarray*}$ ), dann hat $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ genau zwei verschiedene Primfaktoren.

Wer erzählt denn sowas? Von den fünf bekannten Fermat-Primzahlen $\begin{eqnarray*} F_0,\ldots,F_4 \end{eqnarray*}$ trifft diese Aussage nur auf zwei zu - eine erbärmliche Quote für eine Behauptung.

12.02.2023, 13:35

Romaxx

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Fermat-Primzahl $\begin{eqnarray*} F_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ .

keine zwei verschiedenen Primfaktoren smile

.

Danke.

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