Steilster Anstiegswinkel eines Punktes im R3

13.02.2023, 12:07	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Steilster Anstiegswinkel eines Punktes im R3 Liebe Forumsgemeinde, könnte mir bitte mal jemand einen Tipp geben, wie man bei den Aufgaben gemäß Anhang vorgeht? Arbeite mich gerade in das Thema partielle Ableitungen ein und die braucht man doch dafür oder?
13.02.2023, 17:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. Stichwort zunächst einmal: Richtungsableitung! (46) Den normierten Richtungsvektor aus dem gegebenen Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ermittelst du vorteilhaft mittels $\begin{eqnarray} \vec v_0 = \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dieser Vektor ist nämlich auch schon normiert (er hat die Länge 1), wie es für die RA (Richtungsableitung) Bedingung ist. ----------------------- (47) a) Musterlösung (nach der du die anderen Aufgaben selbst rechnen kannst). Der maximale Anstieg (RA) im Punkt P(0, 0) erfolgt in Richtung des Gradienten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ebendort. $\begin{eqnarray} RA = m = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} = 2 \cos \alpha - 2 \sin \alpha \end{eqnarray}$ Zur Maximierung nach alpha setze nun die Ableitung gleich Null (2 Lösungen) und prüfe dann mittels der 2. Ableitung auf die Art des Extremums. $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ [Max. bei $\begin{eqnarray} -\frac{\pi} 4 \end{eqnarray}$ ] $\begin{eqnarray} RA_{max} = \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2 \sqrt 2 \end{eqnarray}$ Alternative: $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist der Winkel der beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{\mathfrak{grad} \ f} \ \text{ und } \ \vec{v_0} \end{eqnarray}$ und nach Definition des Sklarproduktes ist $\begin{eqnarray} RA = \left\|\vec{\mathfrak {grad} \ f}\right\| \cdot \|\vec {v_0}\| \cos \varphi = 2 \sqrt 2 \cdot 1 \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ Max. bei $\begin{eqnarray} \sin \varphi = 0 \ \to \ \varphi = 0; \ \ RA = 2 \sqrt 2 \end{eqnarray}$ Der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ folgt letztendlich dann aus der Steigung des Gradienten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \ \to \ m = -1 = \tan \alpha \ \to \ \alpha = \ldots \end{eqnarray}$ Anmerkung: Anstatt der Bezeichnung $\begin{eqnarray} \vec{\mathfrak {grad} \ f} \end{eqnarray}$ für den Gradienten ist auch die Schreibweise $\begin{eqnarray} \nabla f \end{eqnarray}$ üblich. mY+

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