Tangente an Kurve in Parameterform

14.02.2023, 03:11

Dani003

Tangente an Kurve in Parameterform

Meine Frage:
Hallo Zusammen
Bei folgender Aufgabe verstehe nicht, wie ich sie genau lösen muss, kann mir jemand helfen?

Gleichung der Tangente an Kurve in Punkt = ?

Kurve:
x = t^2 - t - 1
y = t^2 + t + 1

Punkt: P(3,0)

Meine Ideen:
x'=2t-1 y'=2t+1
Nun sei laut Lösung t0 = -1 --> Wie komme ich auf das? Ich verstehe den Zusammenhang zwischen P & t0 irgendwie nicht.

Die Tangente lautet y=3x + 6
Hier verstehe ich nicht, wie ich auf die 6 komme.

14.02.2023, 08:52

Leopold

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Prinzipiell gilt $\begin{align*} \frac{\frac{\dd y}{\dd t}}{\frac{\dd x}{\dd t}} = \frac{\dd y}{\dd x} \end{align*}$ .
Allerdings scheint mir in deinen Angaben etwas nicht zu stimmen. Zwar ist die Gerade mit $\begin{align*} y= 3x + 6 \end{align*}$ eine Tangente, sie geht aber nicht durch den Punkt $\begin{align*} (3,0) \end{align*}$ .

Führt man durch

$\begin{align*} x = -1 + \sqrt{\frac{1}{2}} \, u + \sqrt{\frac{1}{2}} \, v \, , \ \ y = 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} \, u + \sqrt{\frac{1}{2}} \, v \end{align*}$

neue Koordinaten ein, aufgelöst nach $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ dann

$\begin{align*} u = \sqrt{\frac{1}{2}} \, \left( 2 + x - y \right) \, , \ \ v = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( x+y \right) \end{align*}$ ,

so findet man mit $\begin{align*} x = t^2 - t - 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} y = t^2 + t + 1 \end{align*}$ die Parameterdarstellung

$\begin{align*} u = - \sqrt{2} \, t \, , \ \ v = \sqrt{2} \, t^2 \end{align*}$

Eliminiert man den Parameter, erhält man

$\begin{align*} v = \sqrt{\frac{1}{2}} \, u^2 \end{align*}$

Die Kurve ist daher eine Parabel.

[attach]56806[/attach]

14.02.2023, 14:49

mYthos

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Für t0 = +1 ist der Kurvenpunkt (-1/3) und dort die Tangente dort tatsächlich y = 3x + 6.
Es könntes sich daher nur um einen Vorzeichenfehler bei t0 handeln.

Die 6 ergeben sich durch Einsetzen der Koordinaten (-1/3) des Berührungspunktes und der Steigung m = 3 in die Form y = mx + b (b = 6)

mY+

14.02.2023, 14:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Es könntes sich daher nur um einen Vorzeichenfehler bei t0 handeln.

Leider blieb es nicht bei dem "nur", denn die Punktangabe "Punkt: P(3,0)" passt ja nun auch überhaupt nicht dazu.

In dieser Häufung der Angabefehler ist es dann schon schwierig, von nur einem kleinen Schreibfehler zu sprechen - da ist schon deutlich mehr schiefgegangen.

14.02.2023, 18:00

Leopold

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So sehen die Tangenten durch $\begin{align*} (3,0) \end{align*}$ aus.
[attach]56811[/attach]

14.02.2023, 18:29

mYthos

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Habe ich auch schon berechnet, dann aber wieder verworfen; zu komplex.
Das korrespondiert dann leider nicht mit den anderen Werten t, Berührungspunkt, Tangentengleichung, ...

mY+

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