Hesse-Matrix und Extrem- Sattelpunkte

14.02.2023, 08:51

MMchen60

Hesse-Matrix und Extrem- Sattelpunkte

Liebe Forumsgemeinde,
bezgl. einer Prüfungsaufgabe Uni Dresden hätte ich eine Frage. Meine Lösungen stimmen mit der Lösungsangabe der Uni überein bis auf einen Punkt (siehe Anhang). Ich bekomme für $\begin{eqnarray*} \nabla^2 f(2;-3;1) \end{eqnarray*}$ einen Hochpunkt heraus während die Lösung von einem Sattelpunkt spricht. Die Determinante ist doch aber > 0. Wer hat nun Recht?
Danke für Antwort.

14.02.2023, 10:00

HAL 9000

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Die Determinante ist nicht das entscheidende, sondern die Eigenwerte:

Gibt es sowohl positive wie negative Eigenwerte der Hessematrix, dann ist es mit Sicherheit ein Sattelpunkt. Und das trifft auf diesen deinen Punkt $\begin{eqnarray*} (2;-3;1) \end{eqnarray*}$ zu.

Anscheinend hast du da eine "Regel", die im Zweidimensionalen noch gilt, in unzulässiger Weise auf drei und mehr Dimensionen versucht zu erweitern. Augenzwinkern

Was hättest du denn bei Hessematrix $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{rrr} -6 & 0 & 0\\ 0 & -12 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ gesagt: Wegen $\begin{eqnarray*} D<0 \end{eqnarray*}$ Sattelpunkt???

Nein, das wäre ein Hochpunkt, da alle drei Eigenwerte negativ sind, und damit die Hesse-Matrix negativ definit.

14.02.2023, 16:21

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Anscheinend hast du da eine "Regel", die im Zweidimensionalen noch gilt, in unzulässiger Weise auf drei und mehr Dimensionen versucht zu erweitern. Augenzwinkern

Ja, so ist es wohl. Aber, wie lautet die Regel im mehrdimensionalen? Kann ich die irgendwo nachkesen?
Danke für Antwort.

14.02.2023, 20:54

HAL 9000

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Naja, habe ich durch die Blume ja schon gesagt: Die Hessematrix ist symmetrisch, und hat daher nur reelle Eigenwerte.

a) Sind alle Eigenwerte positiv, dann liegt ein Minimum vor.

b) Sind alle Eigenwerte negativ, dann liegt ein Maximum vor.

c) Gibt es sowohl positive wie negative Eigenwerte, dann liegt ein Sattelpunkt vor.

In allen anderen Fällen sind alle Eigenwerte entweder nichtnegativ, oder alle nichtpositiv und dabei mindestens einer gleich Null. In diesem Fall entscheidet die Hessematrix allein nicht über den Typ des kritischen Punkts der Extremwertuntersuchung - Beispiele für letzteres:

$\begin{eqnarray*} x^4+y^4+z^4, x^4+y^4-z^4, -x^4-y^4-z^4 \end{eqnarray*}$

Alle drei Funktionen haben im Nullpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ als Hessematrix die Nullmatrix, d.h. mit dreifachem Eigenwert 0. Offenbar liegt bei diesen drei Funktionen (in dieser Reihenfolge) dort Minimum, Sattelpunkt sowie Maximum vor. Augenzwinkern

15.02.2023, 07:55

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
In allen anderen Fällen sind alle Eigenwerte entweder nichtnegativ, oder alle nichtpositiv und dabei mindestens einer gleich Null. In diesem Fall entscheidet die Hessematrix allein nicht über den Typ des kritischen Punkts der Extremwertuntersuchung

Darf man dann in diesem Falle sagen, dass keine Aussage über die Art der Stelle möglich ist?
Danke nochmal.

15.02.2023, 09:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Darf man dann in diesem Falle sagen, dass keine Aussage über die Art der Stelle möglich ist?

Nein! Man kann lediglich sagen, dass allein mit der Hessematrix an dieser Stelle keine Aussage möglich ist. Insgesamt schon, deswegen hatte ich ja die drei Beispielfunktionen am Schluss genannt.

Selbst zwei Eigenwerte positiv und einer gleich Null heißt nicht immer Minimum - Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^2+y^2-z^4 \end{eqnarray*}$

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