Gleichung hat keine positiv-rationale Lösung

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung hat keine positiv-rationale Lösung
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe habe ich gefunden.
Sei eine natürliche Zahl. Betrachte und zeige, dass es für keine positv-rationalen Lösungen gibt.

Ich hatte überlegt, dass ganze zahlentheoretisch anzugehen.
Angenommen, es gibt Lösungen, die positiv-rational sind. Seien dazu mit . Multipliziere ich nun alle Nenner, erhalte ich

Betrachte ich das nun modulo 3 erhalte ich .
Ausklammern ergibt .

Nun stecke ich fest.
Am einfachsten wäre es ja nun, wenn wären.
Da habe ich mich gefragt: Darf ich am Anfang wohl oBdA annehmen, dass die Brüche jeweils vollständig gekürzt sind? Dann würde dieser Fall hier ja bereits rausfallen.
Ich bin mir da wirklich nicht sicher. Einerseits denke ich, ich dürfte es annehmen, andererseits ist halt , 6 und 1 aber unterschiedliche Restklassen mod 3 verwirrt

Seien nun . Dann erhalte ich
und dies ist genau dann wenn .

Hier weiß ich nun gar nicht weiter und frage mich, ob der Ansatz überhuapt zielführend ist. Ich kann es gerade nicht entscheiden verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malcang
Darf ich am Anfang wohl oBdA annehmen, dass die Brüche jeweils vollständig gekürzt sind?

Na klar darfst du. Wird in vielen Beweisen gemacht.

Zitat:
Original von Malcang
und dies ist genau dann wenn .

Nein, stattdessen wenn

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ok, wir haben , wobei sowohl als auch als teilerfremd angenommen werden dürfen.

Wegen und folgt und auch umgekehrt , und damit . Weiter hab ich jetzt noch nicht nachgedacht, aber das ist ja auch schon eine Menge.

EDIT: Ok, geht doch recht schnell zu Ende: Mit ergibt sich



Die linke Quadratsumme muss durch 3 teilbar sein. Das ist aber nur dann der Fall, wenn entweder alle vier Zahlen durch 3 teilbar sind (geht nicht der Teilerfremdheit wegen) oder aber nur genau eine durch 3 teilbar ist. Das geht aber auch nicht wegen - fertig. smile
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerstmal HAL: Vielen Dank für diese schnelle und vor allem aufschlussreiche Antwort geschockt
Ich konnte den Schritten auch folgen und sehe die Lösung ein. Super! Vielen Dank smile
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ich. Ich wr doch etwas vorschnell.

Zitat:
Original von HAL 9000
... und ...


Das ist mir gerade nicht unmittelbar warum das gilt. Mein Versuch war:
Sei ein Teiler von und von . Dann teilt auch und damit auch .
Aber das ist nicht zielführend verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, der ggT ist größer 1. Dann enthält er einen Primfaktor , der nun , und damit entweder oder teilen muss, o.B.d.A. sei dies .

Da aber auch ein Teiler von ist, teilt dann auch , und damit auch - Widerspruch zur Teilerfremdheit von
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich vollkommen ein, vielen Dank für die Erklärung! Freude

Der Vollständigkeit halber frage ich aber trotzdem: Hast du bewusst
Zitat:
entweder oder
geschrieben?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bewusst nicht, aber der Teilerfremdheit wegen ist es nun mal doch so.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wieder wahr. Jedesmal beim "entweder" werde ich stutzig, weil mir das am Studienbeginn ganz häufig Probleme machte. Aber das hier hat sich völlig aufgeklärt und ich danke für die Hilfe! Wink
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