Gleichung hat keine positiv-rationale Lösung

14.02.2023, 20:01

Malcang

Gleichung hat keine positiv-rationale Lösung

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe habe ich gefunden.
Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Betrachte $\begin{eqnarray*} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = 3n \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ keine positv-rationalen Lösungen gibt.

Ich hatte überlegt, dass ganze zahlentheoretisch anzugehen.
Angenommen, es gibt Lösungen, die positiv-rational sind. Seien dazu $\begin{eqnarray*} x := \frac{x_1}{x_2}, y := \frac{y_1}{y_2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb Z\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ . Multipliziere ich nun alle Nenner, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} x_1^2y_1y_2 + x_1x_2y_1^2 + x_2^2y_1y_2 + x_1x_2y_2^2 = 3nx_1x_2y_1y_2 =: 3m, m\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$
Betrachte ich das nun modulo 3 erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_1^2y_1y_2 + x_1x_2y_1^2 + x_2^2y_1y_2 + x_1x_2y_2^2 \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ .
Ausklammern ergibt $\begin{eqnarray*} x_1(x_1y_1y_2 + x_2y_1^2) + x_2(x_2y_1y_2 + x_1y_2^2) \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ .

Nun stecke ich fest.
Am einfachsten wäre es ja nun, wenn $\begin{eqnarray*} x_1\equiv x_2\equiv 0\pmod 3 \end{eqnarray*}$ wären.
Da habe ich mich gefragt: Darf ich am Anfang wohl oBdA annehmen, dass die Brüche jeweils vollständig gekürzt sind? Dann würde dieser Fall hier ja bereits rausfallen.
Ich bin mir da wirklich nicht sicher. Einerseits denke ich, ich dürfte es annehmen, andererseits ist halt $\begin{eqnarray*} \frac{6}{6} = \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ , 6 und 1 aber unterschiedliche Restklassen mod 3 verwirrt

Seien nun $\begin{eqnarray*} x_1\equiv x_2\equiv 1\pmod 3 \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} y_1y_2 + y_1^2 + y_1y_2 + y_2^2\equiv (y_1 + y_2)^2\pmod 3 \end{eqnarray*}$ und dies ist genau dann $\begin{eqnarray*} \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} y_1\equiv y_2 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ .

Hier weiß ich nun gar nicht weiter und frage mich, ob der Ansatz überhuapt zielführend ist. Ich kann es gerade nicht entscheiden verwirrt

14.02.2023, 20:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Darf ich am Anfang wohl oBdA annehmen, dass die Brüche jeweils vollständig gekürzt sind?

Na klar darfst du. Wird in vielen Beweisen gemacht.

Zitat:

Original von Malcang
und dies ist genau dann $\begin{eqnarray*} \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} y_1\equiv y_2 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ .

Nein, stattdessen wenn $\begin{eqnarray*} y_1\equiv -y_2 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ok, wir haben $\begin{eqnarray*} \left(x_1^2+x_2^2\right)y_1y_2 + \left(y_1^2+y_2^2\right)x_1x_2 = 3nx_1x_2y_1y_2 \end{eqnarray*}$ , wobei sowohl $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ als teilerfremd angenommen werden dürfen.

Wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(x_1x_2,x_1^2+x_2^2\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(y_1y_2,y_1^2+y_2^2\right)=1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \left(x_1x_2\right)\mid \left(y_1y_2\right) \end{eqnarray*}$ und auch umgekehrt $\begin{eqnarray*} \left(y_1y_2\right)\mid \left(x_1x_2\right) \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} x_1x_2=y_1y_2 \end{eqnarray*}$ . Weiter hab ich jetzt noch nicht nachgedacht, aber das ist ja auch schon eine Menge.

EDIT: Ok, geht doch recht schnell zu Ende: Mit $\begin{eqnarray*} x_1x_2=y_1y_2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2 + y_1^2+y_2^2 = 3nx_1x_2 \end{eqnarray*}$

Die linke Quadratsumme muss durch 3 teilbar sein. Das ist aber nur dann der Fall, wenn entweder alle vier Zahlen durch 3 teilbar sind (geht nicht der Teilerfremdheit wegen) oder aber nur genau eine durch 3 teilbar ist. Das geht aber auch nicht wegen $\begin{eqnarray*} x_1x_2=y_1y_2 \end{eqnarray*}$ - fertig. smile

14.02.2023, 20:45

Malcang

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Zuerstmal HAL: Vielen Dank für diese schnelle und vor allem aufschlussreiche Antwort geschockt

Ich konnte den Schritten auch folgen und sehe die Lösung ein. Super! Vielen Dank smile

14.02.2023, 21:38

Malcang

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Nochmal ich. Ich wr doch etwas vorschnell.

Zitat:

Original von HAL 9000
... $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(x_1x_2,x_1^2+x_2^2\right)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left(y_1y_2,y_1^2+y_2^2\right)=1 \end{eqnarray*}$ ...

Das ist mir gerade nicht unmittelbar warum das gilt. Mein Versuch war:
Sei $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x_1x_2 \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray*}$ . Dann teilt $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 2x_1x_2 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} (x_1+x_2)^2 \end{eqnarray*}$ .
Aber das ist nicht zielführend verwirrt

14.02.2023, 21:55

HAL 9000

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Angenommen, der ggT ist größer 1. Dann enthält er einen Primfaktor $\begin{eqnarray*} p>1 \end{eqnarray*}$ , der nun $\begin{eqnarray*} x_1x_2 \end{eqnarray*}$ , und damit entweder $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ teilen muss, o.B.d.A. sei dies $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aber auch ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x_1^2+x_2^2 \end{eqnarray*}$ ist, teilt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} \left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2 = x_2^2 \end{eqnarray*}$ , und damit auch $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ - Widerspruch zur Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$

14.02.2023, 22:03

Malcang

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Das sehe ich vollkommen ein, vielen Dank für die Erklärung! Freude

Der Vollständigkeit halber frage ich aber trotzdem: Hast du bewusst

Zitat:

entweder $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$

geschrieben?

14.02.2023, 22:13

HAL 9000

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Bewusst nicht, aber der Teilerfremdheit wegen ist es nun mal doch so.

14.02.2023, 22:17

Malcang

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Auch wieder wahr. Jedesmal beim "entweder" werde ich stutzig, weil mir das am Studienbeginn ganz häufig Probleme machte. Aber das hier hat sich völlig aufgeklärt und ich danke für die Hilfe! Wink

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