Stetig fortsetzbar in R3?

15.02.2023, 08:28	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig fortsetzbar in R3? Liebe Forumsgemeinde, im Anhang eine Prüfungsaufgabe der Uni Dresden WS 2022, wozu ich zwei Fragen hätte: 1. Reduktion der Ausgangsgleichung: Wieso verschwindet da $\begin{eqnarray} \frac {-6xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ? 2. Ginge der Nachweis auch noch anders, z. B. wie im R2 über l'Hospital? Vielen Dank für Antwort.
15.02.2023, 08:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetig fortsetzbar in R3? 1) $\begin{eqnarray} 3(x+y)^2 -6xy = 3(x^2 + 2xy + y) - 6xy = 3(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ . Es ist nicht verschwunden, sondern es wurde zum Kürzen vereinfacht. 2) Leider sind mehrdimensionale Funktionen nicht L'Hospital-freundlich. Schon im komplexen gibt es hier Gegenbeispiele, wo es nur eine "eindimensionale" komplexwertige Variable gibt. Alternativ zu Polarkoordinaten kann man es hier auch direkt über geeignete Abschätzungen zeigen, insb. beliebt bei solchen Problemen "die" Young'sche Ungleichung. (Es gibt zahlreiche unter dem Namen).

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