Formulierung Zufallsvariable

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15.02.2023, 10:27	Hilfe2	Auf diesen Beitrag antworten »
Formulierung Zufallsvariable Meine Frage: Hallo zusammen, ich schreibe aktuell eine Seminararbeit und mein Prof hat mal da durch geschaut und seine Bemerkungen hingeschrieben. (siehe Bild) Meine Ideen: Was genau ist hier nun falsch? Das Argument in der Zufallsvariable latex] X [/latex] sollte[ latex] \omega [/latex] sein und nicht w, dass verstehe ich. Aber ist die Formulierung sonst auch falsch?
15.02.2023, 10:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formulierung Zufallsvariable Er sagt dir, dass $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ein Element und $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ eine Menge ist. D.h. es ist nie $\begin{eqnarray} \omega =E \end{eqnarray}$ . Was du an der Stelle meinst ist $\begin{eqnarray} \omega \in E \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \omega \in \overline E \end{eqnarray}$ .
15.02.2023, 10:45	Hilfe2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formulierung Zufallsvariable Ahh okay. Danke für die schnelle Antwort, also würde es passen, wenn ich das wie folgt ergänze: $\begin{eqnarray} X(\omega):=\left\{\begin{array}{ll} \phantom{-}1, & \omega \in E \\<br /> -1, & \omega \in \bar E \end{array}\right. . \end{eqnarray}$ Passt das so?
15.02.2023, 10:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formulierung Zufallsvariable So sieht es gut aus
15.02.2023, 10:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist. Man muss sorgfältig unterscheiden zwischen den Begriffen a) Elementarereignis, das sind Elemente der Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , wie etwa dein $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ sowie b) Ereignis, das sind bestimmte Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , die in der zum W-Raum gehörenden Sigma-Algebra liegen müssen, wie etwa dein $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . D.h. streng formal betrachtet ist $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ selbst trotz der Bezeichnung "Elementarereignis" kein Ereignis, allenfalls die Einermenge $\begin{eqnarray} \{\omega\} \end{eqnarray}$ . Allerdings nimmt man es manchmal nicht so genau mit der Symbolik und schreibt dann doch $\begin{eqnarray} P\left(\omega\right) \end{eqnarray}$ statt des eigentlich richtigen $\begin{eqnarray} P\left(\{\omega\}\right) \end{eqnarray}$ . Das muss man dann verkraften und richtig einordnen.
15.02.2023, 12:47	Hilfe4	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal noch eine Frage, weshalb stellt er mir hier diese Frage? Ist hier irgendwas falsch? Vorab die Info: Es ist: $\begin{eqnarray} P(Z_{k}=1)=P(Z_{k}=-1)=0.5 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ .
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15.02.2023, 12:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus identisch-verteilt folgt, dass die Erwartungswerte und Varianzen gleich sind. Dass der Erwartungswert 0 ist und Varianz 1 ist, ist eine zusätzliche Annahme. Man kann gewissen Zufallsvariablen normieren, so dass man die Eigenschaften bekommt. Aber i.A. ist es falsch, das hat der Prof. angemerkt.
15.02.2023, 13:19	Hilfe2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh Okay. Das macht sinn. Passt das jetzt so, wie ich es geändert habe?
15.02.2023, 13:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dder Anfang ist nun besser. Ich sehe nicht wie die Normierung aus (2.1) folgt. Ist $\begin{eqnarray} Z_k = \frac { X_k - 2p +1 } {\sqrt{4p(1-p)}} \end{eqnarray}$ ?
15.02.2023, 13:36	Hilfe2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, nein eigentlich nicht. Die Zufallsvariablen sind wie folgt verteilt: $\begin{eqnarray} P(Z_{k}=1)=P(Z_{k}=-1)=0.5 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k \in \{1,...,t\} \end{eqnarray}$ . Der Ausdruck (2.1) beschreibt den Erwartungswert und die Standardabweichung einer Bernoulli Verteilung. Da alle $\begin{eqnarray} Z_{k} \end{eqnarray}$ bernoulli verteilt sind mit $\begin{eqnarray} p=0.5 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Z_{1})=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{V}(Z_{1})=1 \end{eqnarray}$ . Müsste doch passen, oder?
15.02.2023, 13:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann würde ich genau das noch dazuschreiben: $\begin{eqnarray} Z_k \end{eqnarray}$ sind bernoulli-verteilt mit $\begin{eqnarray} p=0.5 \end{eqnarray}$ und damit folgt mit (2.1), dass $\begin{eqnarray} E(Z_1) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(Z_1) = 1 \end{eqnarray}$ .
15.02.2023, 13:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Z_k \end{eqnarray}$ selbst ist gewiss nicht Bernoulli-verteilt, sondern geht allenfalls durch Lineare Transformation aus einer Bernoulli-verteilten Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Y_k\sim B\left(1,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}$ hervor, naheliegenderweise ist das die Transformation $\begin{eqnarray} Z_k = 2Y_k-1 \end{eqnarray}$ . Aus $\begin{eqnarray} E(Y_k) = p = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} V(Y_k) = p(1-p) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ folgt dann $\begin{eqnarray} E(Z_k) = 2E(Y_k)-1 = 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} V(Z_k) = 2^2\cdot V(Y_k) = 1 \end{eqnarray}$ .

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