Diagonalisierbarkeit

15.02.2023, 21:07	Henno8	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit Meine Frage: Wenn für eine Matrix A gilt: A^2=1_n, wobei 1_n die Einheitsmatrix sein soll, ist dann die Matrix A diagonalisierbar? Meine Ideen: Konnte bisher kein Gegenbeispiel finden, also schätze ich ja, für den Beweis bräuchte ich aber einen kleinen Tipp.
16.02.2023, 10:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist folgendes eingefallen, ist vermutlich überkompliziert gedacht: Da Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ja Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ bedeutet, kann $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nur die möglichen Eigenwerte $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ aufweisen. Angenommen, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist nicht diagonalisierbar. Dann muss zu mindestens einem dieser Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Hauptvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ der Stufe 2 existieren, d.h. mit $\begin{eqnarray} \left(A-\lambda 1_n\right)v \neq 0 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \left(A-\lambda 1_n\right)^2v = 0 \end{eqnarray}$ . Letzteres bedeutet ausmultipliziert $\begin{eqnarray} 0 = \left(A^2-2\lambda A + 1_n\right)^2v = \left(2\cdot 1_n-2\lambda A\right) v = -2\lambda\left(A-\lambda 1_n\right)v \end{eqnarray}$ , womit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ dann aber doch Eigenvektor zu Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist, Widerspruch.
16.02.2023, 10:55	Henno8	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum dann ein Hauptvektor 2. Stufe (ich kenne den Begriff nicht, ist das ein Eigenvektor aus einem 2 dimensionalen Eigenraum?) und die darauf folgende Bedingung kann nicht wirklich nachvollziehen.
16.02.2023, 10:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte angenommen, dass Vorkenntnisse zu Nichtdiagonalisierbarkeit/Jordanzerlegung vorhanden sind. https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum
16.02.2023, 14:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minimalpolynom von A ist Teiler von $\begin{eqnarray} x^2-1=(x-1)(x+1) \end{eqnarray}$ , zerfällt also in paarweise verschiedene Linearfaktoren. Das ist äquivalent zur Diagonalisierbarkeit.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »