Taylorreihe vektoriell

18.02.2023, 16:54

MMchen60

Taylorreihe vektoriell

Liebe Forumsgemeinde,
ich hänge am Aufgabenteil b) der Aufgabe im Anhang.
Die einzelnen Gradienten habe ich richtig errechnet, sie stimmen mit den Lösungsangaben überein.
Ich verstehe eigentlich alles bis auf den Aufbau der Taylorreihe der zweiten Ordnung. Das 1/2 kommt klar von 1/2!. Aber, wieso steht nach diesem 1/2 dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ , woher kommt das transponiert? und wenn ich dann den zweiten Gradienten hoch 2 einsetze, dann steht doch da für den gesamten zu berechnenden Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und laut Lösung soll das
$\begin{eqnarray*} -\frac {1}{2}(x-1)^2+(x-1)(y-1)- \frac {1}{2}(y-1)^2 \end{eqnarray*}$ sein. Wieso das denn?
Vielen Dank für Antwort.

18.02.2023, 20:33

klauss

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RE: Taylorreihe vektoriell
Vielleicht hast Du die Formel für das Taylorpolynom falsch interpretiert. Eigentlich müßte da stehen
$\begin{eqnarray*} T(x;y) = g(1;1)+ \nabla_{g}(1;1)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x-1 & y-1 \end{pmatrix}\nabla^{2}_{g}(1;1)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was Deine Schreibweise betrifft, hatte ich angenommen, dass die 2 in $\begin{eqnarray*} \nabla^{2} \end{eqnarray*}$ nur anzeigen soll, dass es sich um die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen handelt. Falls Du das aber als fälschlich als Quadrat aufgefaßt hast, würde ich zu einer anderen Schreibweise raten, z. B. $\begin{eqnarray*} H_{g}(1;1) \end{eqnarray*}$ , denn im Quadrat geht nicht die Hessematrix ein, sondern der Vektor $\begin{eqnarray*} \left(\vec{x} -\vec{x} _{0} \right) \end{eqnarray*}$ .

19.02.2023, 08:20

MMchen60

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RE: Taylorreihe vektoriell

Zitat:

Original von klauss
Vielleicht hast Du die Formel für das Taylorpolynom falsch interpretiert. Eigentlich müßte da stehen
$\begin{eqnarray*} T(x;y) = g(1;1)+ \nabla_{g}(1;1)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x-1 & y-1 \end{pmatrix}\nabla^{2}_{g}(1;1)\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was Deine Schreibweise betrifft, hatte ich angenommen, dass die 2 in $\begin{eqnarray*} \nabla^{2} \end{eqnarray*}$ nur anzeigen soll, dass es sich um die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen handelt. ....

Ja, das sollte die 2. partielle Ableitung sein. Mir war nur nicht klar, woher dieses $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ kommen soll, war so in den Lösungen des Profs so angegeben und nicht mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist es mir klar, denn das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-1 & y-1 \end{pmatrix}...\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stellt wohl das Quadrat des Vektors $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{x}_0) \end{eqnarray*}$ dar, oder?
Habe die Vektormatrix-Multiplikation jetzt auch so vorgenommen und komme damit auf das Ergebnis der Lösungsangabe. Vielen Dank noch mal.

19.02.2023, 08:59

klauss

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RE: Taylorreihe vektoriell

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-1 & y-1 \end{pmatrix}...\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stellt wohl das Quadrat des Vektors $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{x}_0) \end{eqnarray*}$ dar, oder?

Richtig.

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