Logarithmusgleichung mit Summanden als Variable lösen

19.02.2023, 11:44	Feete1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusgleichung mit Summanden als Variable lösen Meine Frage: Hallo liebe Mathematikcommunity, ich bin auf eine Gleichung gestoßen, die mir Kopfzerbrechen macht. Es handelt sich um folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} t=\frac{ln(k_{a})-ln(k_{e})}{k_{a}-k_{e}} \end{eqnarray}$ Die Gleichung soll nach $\begin{eqnarray} k_{a} \end{eqnarray}$ umgestellt werden. Meine Ideen: Bisher bin ich durch Umstellen immer bis zu einem gewissen Punkt gekommen. Leider habe ich $\begin{eqnarray} k_{a} \end{eqnarray}$ immer entweder im Exponenten einer Potenz mit Basis e $\begin{eqnarray} e^{k_{a}-k_{e}}=(\frac{k_{a}}{k_{e}})^{\frac{1}{t} } \end{eqnarray}$ oder aber im natürlichen logarithmus zu stehen. Mir fällt kein Weg ein, wie ich das $\begin{eqnarray} k_{a} \end{eqnarray}$ von diesen beiden Beziehungen zur gleichen "Zeit" lösen kann. Ein Vergleich der beiden Terme der Gleichung $\begin{eqnarray} t\cdot k_{a}-ln(k_{a})=t\cdot k_{e}-ln(k_{e}) \end{eqnarray}$ führt mich zu der Lösung $\begin{eqnarray} k_{a} = k_{e} \end{eqnarray}$ . Das würde mich aber zu Problemen in der Ausgangsgleichung führen, da dann durch Null dividiert werden würde. Gibt es hier einen Kniff, den ich nicht sehe? Oder kann ich diese Gleichung überhauptnicht auf "konventionelle" Weise per Umstellen lösen? Vielen Dank für eure Hilfe
19.02.2023, 11:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf konventionelle Weise ist das nicht möglich. Packt man hingegen die LambertW-Funktion in den Werkzeugkasten, kann man die Gleichung lösen.
19.02.2023, 12:12	Feete	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann werde ich mich Mal mit der LambdaW-Funktion ein wenig auseinandersetzen . LG und einen schönen Restsonntag wünsche ich.
19.02.2023, 12:19	G190223	Auf diesen Beitrag antworten »
Das das Gesuchte linear und als log-Argument auftritt, kommst du analytisch nicht an ka ran. @HAL: Wie geht das mit Lambert? Lösungsweg?
19.02.2023, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für positive $\begin{eqnarray} t,k_e \end{eqnarray}$ hat die umgestellte Gleichung $\begin{eqnarray} t\left(k_a-k_e\right) = \ln\left(k_a\right) - \ln\left(k_e\right) \end{eqnarray}$ tatsächlich die eine Lösung $\begin{eqnarray} k_a=k_e \end{eqnarray}$ , aber auch noch eine weitere: Substituiert man $\begin{eqnarray} x = -t k_e + \ln\left(k_e\right) - \ln\left(k_a\right) \end{eqnarray}$ , was umgestellt $\begin{eqnarray} k_a = k_e\cdot e^{-x-t k_e} \end{eqnarray}$ bedeutet, so bekommt man $\begin{eqnarray} t\left(k_e\cdot e^{-x-t k_e} - k_e\right) = -t k_e + \ln\left(k_e\right) - x - \ln\left(k_e\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t k_e\cdot e^{-x-t k_e} = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -tk_e\cdot e^{-t k_e} = x e^x \end{eqnarray}$ Ab hier setzt dann LambertW ein.
19.02.2023, 13:33	G190223	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Wahnsinn! Das übersteigt mein Niveau. Unglaublich, was du alles draufhast.
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19.02.2023, 14:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Schulmathematik ist allerdings LambertW weitgehend unbekannt, zumindest war es bis jetzt dort so. Diese Art von Gleichungen - wie in der Angabe - fallen in das Gebiet der transzedenten Gleichungen und sie werden, im Falle sie nicht algebraisch lösbar sind, in der Praxis näherungsweise gelöst. Im Prinzip ist die LambertW-Funktion als Umkehrfunktion der impliziten Darstellung $\begin{eqnarray} x = ye^y \end{eqnarray}$ gleichermaßen eine transzedente (und tabellarisch darstellbare) Funktion wie auch der log oder sin, cos, .. In der höheren Mathematik hat sie jedoch unbestitten einen bedeutenden Stellenwert. In unserem Fall der Schulmathematik kann die Gleichung so umgeformt werden, dass sie letztendlich die Form $\begin{eqnarray} tx - \ln x - b = 0 \end{eqnarray}$ hat. Und davon werden die Nullstellen beispielsweise mittels Newton* bestimmt: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f \ '(x_n)} \end{eqnarray}$ Mit Startwert $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x_1 = x_0 - \frac{t - \frac 1 {x_0}}{tx_0 - \ln x_0 - b} \end{eqnarray}$ (*) Andere Verfahren sind (v.a. wenn Newton fehlschlägt): Regula falsi (Sekantenverfahren), Intervallhalbierung (Bisektion, sh. "wie man einen Löwen fängt"), Fixpunktiteration, udgl. mY+

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