Satz von Euler-Fermat

20.02.2023, 16:45	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Euler-Fermat Hallo zusammen, ich betrachte gerade das Folgende: Sei $\begin{eqnarray} A = \{a_1,a_2,\dots, a_k\} \end{eqnarray}$ eine endliche Menge vom Primzahlen. Für eine Primzahl $\begin{eqnarray} q\not\in A \end{eqnarray}$ bilde ich das Produkt $\begin{eqnarray} p := \prod\limits_{a_i\in A}ord_q(a_i) \end{eqnarray}$ . Nun berechne ich $\begin{eqnarray} 2^p+1 \pmod{a_i} \forall a_i \end{eqnarray}$ . Nach dem Satz von Euler-Fermat sollte doch hier $\begin{eqnarray} 2 \pmod {a_i} \end{eqnarray}$ rauskommen. Oder vertue ich mich schwer?
20.02.2023, 18:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich überhaupt nicht nachvollziehen, wie du das vermuten kannst - ich sehe auch nirgends Euler-Fermat: Betrachten wir z.B. $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1=5 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} q=3 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} p = \operatorname{ord}_3(5) = \operatorname{ord}_3(2) = 2 \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} 2^p+1 = 2^2+1\equiv 0\bmod 5 \end{eqnarray}$ statt 2.
20.02.2023, 18:15	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL, ich war wieder mal total zerstreut und habe mehreres durcheinander geworfen. Entschuldigung Ich betrachte $\begin{eqnarray} p := \prod\limits_{a_i}ord_{a_i}(2) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} 2^p + 1 \equiv 2^{p\pmod{ord_{a_i}(2)}} \pmod {a_i} \end{eqnarray}$ nach Euler-Fermat und damit $\begin{eqnarray} 2^0 + 1 \equiv 2 \pmod {a_i}. \end{eqnarray}$
20.02.2023, 19:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so klappt es natürlich. Es würde übrigens auch schon $\begin{eqnarray} p:=\operatorname{kgV}\left(a_1,\ldots,a_k\right) \end{eqnarray}$ reichen, ähnlich wie bei der Carmichael-Funktion.
21.02.2023, 08:50	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, HAL, ich danke dir für die Hilfe und den Hinweis. Die Carmichael-Funktion werde ich mir gleich anschauen! Schönen Tag an alle!
21.02.2023, 08:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Carmichaelfunktion $\begin{eqnarray} \lambda(n) \end{eqnarray}$ ermittelt aber das Maximum der Gruppenordnungen $\begin{eqnarray} \operatorname{ord}_n(a) \end{eqnarray}$ für alle zu $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ teilerfremden $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Du bist ja anscheinend nur an $\begin{eqnarray} \operatorname{ord}_n(2) \end{eqnarray}$ interessiert. Zumindest stimmt in dem Zusammenhang die Aussage $\begin{eqnarray} \operatorname{ord}_n(2) \mid \lambda(n) \end{eqnarray}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ .
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