Nullfolge

22.02.2023, 22:21	Cinzio22	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullfolge Hallo miteinander Wir haben folgenden Satz im Unterricht gesehen: "Eine Folge (a_n) hat genau dann den Grenzwert a, wenn (a_n - a) eine Nullfolge ist" Kann mir das jemand erklären, evtl. auch mit einem Beispiel? Danke!
23.02.2023, 06:42	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullfolge https://www.lernhelfer.de/schuelerlexiko...ikel/nullfolgen https://mathematik-wissen.de/analysis/za...-grenzwert-null
23.02.2023, 12:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n+1}{2n-1} = \ \left[ \ 2, \ 1, \ \frac 4 5, \ \frac 5 7, \ \frac 6 9, \ \ldots \ \right] \ \end{eqnarray}$ hat den Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ Die Folge mit den um den Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ verminderten Folgengliedern lautet dann $\begin{eqnarray} {a_0}_n = \frac 3 {2(2n - 1)} = \left[ \ \frac 3 2, \ \frac 1 2, \ \frac 3 {10}, \ \frac 3 {14}, \ \frac 1 6, \ \ldots\ \right] \ = \ \left[ \ 1.5, \ 0.5, \ 0.3, \ 0.21, \ 0.17, \ \ldots \ \right] \end{eqnarray}$ und diese strebt gegen 0. Die Links im Vorpost erklären dies leider nicht oder nur teilweise. ------------ Die Anwort auf die Frage wird auch allgemein sofort aus dem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ - Kriterium klar, denn dieses besagt genau diesen Sachverhalt: $\begin{eqnarray} \text{Für jedes reelle }\epsilon > 0 \text{ gilt ab einem Index } N_0(\epsilon): a = \lim_{n \to \infty} a_n: \ \|a_n - a\| < \epsilon, \ \forall n > N_0(\epsilon), \ \{n, N_0\} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (In jeder $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebung des Grenzwertes a liegen fast alle Glieder der Folge a_n) Die innerhalb der Betragszeichen stehende Folge ist also eine Nullfolge, denn für sie gilt immer $\begin{eqnarray} \|{a_0}_n\| < \epsilon \end{eqnarray}$ unter den o.a. Bedingungen. mY+

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