Quantoren: Welche Schreibweise ist korrekt?

23.02.2023, 12:07

Malcang

Quantoren: Welche Schreibweise ist korrekt?

Hallo zusammen,

folgendes macht mir immer wieder Probleme:
Sagen wir, ich möchte auf die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und eine Teilbarkeit hinaus.
Wie schreibe ich das korrekt?

1. Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ die Menge der Primzahlen und sei $\begin{eqnarray*} \alpha_p \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl. Dann ist $\begin{eqnarray*} n = \prod\limits_{p\in\mathbb P}p^{\alpha_p} \end{eqnarray*}$ . Damit existiert ein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} p\mid n \end{eqnarray*}$ .

2. Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ die Menge der Primzahlen. Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen. Dann ist $\begin{eqnarray*} n = \prod\limits_{i}p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ . Damit existiert ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} p_i\mid n \end{eqnarray*}$ .

Das erste sieht mir zwar schlanker aus, aber dafür könnte man (oder nur ich?) meinen, dass das $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ so unflexibel aussieht.
Im Gegensatz dazu das zweite, das mir aber sehr überladen aussieht. Außerdem frage ich mich, ob ich nicht noch eine Indexmenge angeben muss, aus der ich die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nehme.

Was ist korrekt? Oder zumindest besser? Wahrscheinlich sind beide nicht ganz ok, fürchte ich.

23.02.2023, 12:38

HAL 9000

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Ich verstehe überhaupt nicht, was du mit den Formulierungen bezweckst:

Gibst du die $\begin{eqnarray*} \alpha_p \end{eqnarray*}$ vor und willst dann irgendwas über das zugehörige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aussagen? Oder doch umgekehrt? Ich kann das aus den Formulierungen nicht entschlüsseln. unglücklich

Dann noch zu "natürliche Zahl": Ist das bei dir mit oder ohne Null gemeint? Denn "ohne Null" macht $\begin{eqnarray*} n = \prod_{p\in\mathbb{P}} p^{\alpha_p} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_p\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ keinerlei Sinn: Denn dann müsste JEDE (!) Primzahl mindestens einmal in der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auftauchen - absurd.

Ist andererseits die Null mit dabei, dann können ja auch alle $\begin{eqnarray*} \alpha_p=0 \end{eqnarray*}$ sein, dann ist $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ und es gibt mitnichten ein $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{P} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\mid n \end{eqnarray*}$ .

Ich kann es drehen und wenden wie ich will, ich erkenne keinen Sinn in deinen Aussagen.

23.02.2023, 12:53

Malcang

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Danke sehr HAL 9000, ich war wieder mal unsauber. Sorry.

Ich zeige einfach mal, wie ich den Fundamentalsatz aufgeschrieben habe.

[attach]56852[/attach]

Im weiteren Verlauf nutze ich allerdings auch mal diese Schreibweise:
[attach]56853[/attach]

23.02.2023, 13:02

HAL 9000

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Das ist ja auch soweit in Ordnung. Ich sehe nur keinen Zusammenhang zu deinen Aussagen (?!) 1 und 2 oben.

23.02.2023, 13:37

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist ja auch soweit in Ordnung. Ich sehe nur keinen Zusammenhang zu deinen Aussagen (?!) 1 und 2 oben.

Ich versuche meine Fragen immer möglichst "abgespeckt" zu stellen. Leider passiert es dann dabei, dass ich vollkommen neue Szenarien erzeuge. Ich versuche mich dahingehend zu bessern.

Aber bezogen auf meine beiden Screenshots lautet die Frage, ob ich beim zweiten nicht noch eine Indexmenge angeben muss. Außerdem habe ich ja nicht spezifiziert, dass die Exponenten natürlich oder null sind.

Ich stehe mir bei sowas absolut selbst im Weg.
Sagen wir, ich habe in meiner Arbeit einmal den Fundamentalsatz wie im ersten Screenshot aufgeschrieben. Wenn ich ihn direkt danach nochmal brauche habe ich das Gefühl, ich müsste wieder und wieder und wieder dazuschreiben, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl beschreibt, die Exponenten natürlich oder Null sind und so weiter.

Einerseits denke ich nämlich "Das liest ein Mathematiker. Der wird das ja wohl sehen".
Andererseits ist es mathematisch vielleicht zu "lasch".

23.02.2023, 13:58

HAL 9000

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Es ist ja auf jeden Fall eine endliche Indexmenge, und im Unterschied zu der Darstellung $\begin{eqnarray*} p^{\alpha_p} \end{eqnarray*}$ wirst du in der indizierten Variante ja wohl $\begin{eqnarray*} \alpha_i\geq 1 \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} \alpha_i\geq 0 \end{eqnarray*}$ fordern.

Bei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ (oder wie immer du das nennen magst) verschiedenen ungeraden Primfaktoren in m kannst du doch schreiben

$\begin{eqnarray*} m=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_i\in\mathbb{P}\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,s \end{eqnarray*}$ .

Genau genommen müsste man noch schreiben, dass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind, aber das ist hier bei derlei Betrachtungen so üblich, dass es womöglich übertrieben wirkt. Eventuell willst du sie ja auch aufsteigend geordnet haben, dann kannst du das mit dem "paarweise verschieden" auch nebenbei gleich mit erledigen mit der Forderung $\begin{eqnarray*} 3\leq p_1 < p_2 <\ldots < p_s \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

23.02.2023, 14:24

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ (oder wie immer du das nennen magst) verschiedenen ungeraden Primfaktoren in m kannst du doch schreiben

$\begin{eqnarray*} m=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_i\in\mathbb{P}\setminus\{2\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,s \end{eqnarray*}$ .

Das ist mir sogar die liebste Möglichkeit, weil sie alles hat, was man braucht. Nichtsdestoweniger bin ich ja manchmal nicht daran interessiert, dass es genau $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ Primteiler sind, sondern nur an bestimmten Primteilern. Beispielsweise denjenigen die $\begin{eqnarray*} \equiv 1\pmod 4 \end{eqnarray*}$ sind. Dann würde ich das halt aufteilen:
Sei $\begin{eqnarray*} P_i = \{p\in\mathbb P : p\equiv 1\pmod 4\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} n = \prod\limits_{p\in P_1}p^{\alpha_p} \cdot \prod\limits_{q\in P_3}q^{\beta_q} \end{eqnarray*}$
Hier wäre es mir ja egal wieviele Primteiler das nun sind.

Zitat:

Original von HAL 9000
Genau genommen müsste man noch schreiben, dass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind, aber das ist hier bei derlei Betrachtungen so üblich, dass es womöglich übertrieben wirkt.

Das ist genau der Punkt. Ich denke, der erfahrene Leser (zu denen ich mich nicht zähle) wird eher sagen "Ah, das ist gemeint, klar", anstatt "Mein Gott, musst du alles 15 mal wiederholen".
Aber wie du mich ja bereits kennengelernt hast, bin ich ein Freund davon, alles haarklein aufzudröseln. Es ist mir lieber eine Info zuviel zu geben und diese zu überfliegen, als eine zuwenig zu geben und ich muss im Kopf wieder kramen. Mir hilft das, mich auf den Gedanken zu konzentrieren, den ich gerade habe (oder den des Autors, den ich nachvollziehen möchte.)

23.02.2023, 15:30

Elvis

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Wenn du lernen willst, was begriffliche und formale Perfektion in der Mathematik ist, musst du nur die zahlentheoretischen Werke von Helmut Hasse studieren. Egal ob "Vorlesungen über Zahlentheorie", "Zahlentheorie" oder "Zahlbericht" - eleganter, präziser, ausführlicher und prägnanter kann man nicht schreiben. Wesentlich an seinen Büchern ist das durchgängig hohe sprachliche Niveau und die konsequente Korrektheit aller mathematischen Formeln.

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