Wahrscheinlichkeit Pasch Würfeln

23.02.2023, 21:01

GreaterMatheNoob

Wahrscheinlichkeit Pasch Würfeln

Hallo Mathe Experten!

Mich würde folgendes Interessieren:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit Anzahl x Würfel einen y-er Pasch zu würfeln?
Die Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfel einen 2er Pasch zu würfeln ist einfach zu berechnen, aber sobald man darüber hinaus rechnen will, dann wird es kompliziert.

Beispiel:
Wahrscheinlichkeit mit 4 Würfeln einen 3er Pasch zu würfeln (z.B.: 1,1,1,6)
oder
Wahrscheinlichkeit mit 5 Würfeln einen 2er Pasch zu würfeln (z.B.: 1,1,6,5,4)
etc.

Wie würde denn so eine Formel lauten?

Vielen Dank im Voraus

23.02.2023, 21:14

mYthos

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Eine Erklärung findest du hier: KLICK!

mY+

23.02.2023, 21:16

HAL 9000

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1) Zunächst wäre zu klären, was ein y-er Pasch ist: Müssen es GENAU y gleiche Werte sein, oder reicht auch MINDESTENS?

Sprich: Ist 1,1,6,1,4 auch ein 2er-Pasch, oder durch die "zusätzliche" 1 dann nicht mehr?

2) Was ist beim Auftreten von mehr als eine Pasch im Wurfergebnis? Also z.B. 1,1,2,6,2 oder 1,1,2,1,2 ?

23.02.2023, 21:26

GreaterMatheNoob

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1)
Es müssen GENAU y gleiche Werte sein.

2)
Spielt keine Rolle, es sollte nur geprüft werden, ob in diesem Wurf MINDESTENS ein y-er Pasch gewürfelt wurde.

EDIT: Als Ergebnis sollte eine Tabelle erstellt werden:

_______2er Pasch___3er Pasch__4er Pasch etc.
2 Würfel___x%______0%________0%
3 Würfel___x%______x%________0%
4 Würfel___x%______x%________x%
etc.

23.02.2023, 21:46

HAL 9000

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Naja, es geht dann mit Siebformel:

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ... Menge aller Wurfergebnisse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Würfeln

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Menge aller Würfe aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die einen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Pasch mit Augenzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufweisen

Für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} I\subseteq \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |I|=m \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} \left| \bigcap_{k\in I} A_k \right| = \begin{cases} 0 &\mbox{ für }x<my\\ \frac{x!}{y!^m\left(x-my\right)!}\cdot (6-m)^{x-my} &\mbox{ sonst}\end{cases}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Die Siebformel ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \left| \bigcup_{k=1}^6 A_k\right| = \sum_{\{\}\neq I\subseteq \{1,2,3,4,5,6\}} (-1)^{|I|-1} \cdot \left| \bigcap_{k\in I} A_k \right| = \sum_{m=1}^{\min\left\{6,\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor\right\}} (-1)^{m-1}\cdot \binom{6}{m} \cdot \frac{x!}{y!^m\left(x-my\right)!}\cdot (6-m)^{x-my} \end{eqnarray*}$

Angesichts von $\begin{eqnarray*} |\Omega|=6^x \end{eqnarray*}$ ergibt das dann die Wahrscheinlichkeit von

$\begin{eqnarray*} p = \frac{1}{6^x}\cdot \sum_{m=1}^{\min\left\{6,\left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor\right\}} (-1)^{m-1}\cdot \binom{6}{m} \cdot \frac{x!}{y!^m\left(x-my\right)!}\cdot (6-m)^{x-my} \end{eqnarray*}$

für mindestens einen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Pasch unter den $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Würfeln. Dabei ist es natürlich zentral, Formel (*) zu verstehen.

23.02.2023, 22:12

GreaterMatheNoob

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Oh my God!

Da versteh ich nur Bahnhof Big Laugh

Ich war wohl zu naiv und dachte, dass man hierfür keine höhere Mathematik nötig ist.

Aber vielen Dank dafür.

23.02.2023, 22:22

HAL 9000

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Das ist keine höhere Mathematik, sondern schlicht abzählende Kombinatorik: Außer den vier Grundrechenarten werden nur noch ein paar Fakultätswerte benötigt. Dafür ist sie aber auch allgemeingültig, z.B. auch für $\begin{eqnarray*} x=4711 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=173 \end{eqnarray*}$ .

23.02.2023, 22:27

GreaterMatheNoob

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Ich weiß nicht, denn ich müsste nur noch verstehen wie ich diese Formel auf den Taschenrechner rechnen kann.

23.02.2023, 22:30

HAL 9000

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Mal ein Ausschnitt, was das so für kleine x,y bedeutet:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	2er Pasch 3er Pasch 4er Pasch 2 Würfel 1/6 0 0 3 Würfel 5/12 1/36 0 4 Würfel 5/8 5/54 1/216 5 Würfel 475/648 125/648 25/1296 6 Würfel 25/32 1225/3888 125/2592

23.02.2023, 22:42

GreaterMatheNoob

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mal ein Ausschnitt, was das so für kleine x,y bedeutet:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	2er Pasch 3er Pasch 4er Pasch 2 Würfel 1/6 0 0 3 Würfel 5/12 1/36 0 4 Würfel 5/8 5/54 1/216 5 Würfel 475/648 125/648 25/1296 6 Würfel 25/32 1225/3888 125/2592

Dankeschön! Gott

Kannst du die Tabelle für den 5er und 6er Pasch erweitern?
Denn dann wäre die Tabelle für mich komplett und kann mich weiter an die Arbeit machen.

23.02.2023, 22:49

HAL 9000

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Rechne es doch selber aus. Wenn du Python hast, hier der Code-Schnipsel:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

import math

def paschProbability(x,y):
    yf = -math.factorial(y)
    factor = -math.factorial(x)
    s = 0
    for m in range(1,min(6,x//y)+1):
        factor //= yf
        z = x-m*y
        s += math.comb(6,m)*(factor//math.factorial(z))*((6-m)**z)
    r = 6**x
    g = math.gcd(r,s)
    return (s//g,r//g)

Rückgabewert sind Zähler und Nenner des Wahrscheinlichkeits-Bruchs.

23.02.2023, 23:06

GreaterMatheNoob

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Ja ich habe Python, stehe aber gerade in der Lernphase und beherrsche gerade mal Grundkenntnisse. Soll ich da die x und y mit Zahlen ersetzen?

23.02.2023, 23:40

HAL 9000

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Ja, habe ich ja extra deswegen genauso benannt.

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Wahrscheinlichkeit Pasch Würfeln

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