Asymptoten |
| 24.02.2023, 09:25 | Cinzio22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Asymptoten Angenommen, wir haben die Funktion gegeben. Gesucht sind die Asymptoten. Wie man die berechnet ist mir klar. Sicherlich ist eine Asymptote. Wie aber schaut's mit aus? Ist das auch eine Asymptote? Und generell: Wie macht ihr das, wenn bei Kurvendiskussionen nach den Asymptoten gefragt wird? Gebt ihr "nur" die Funktion an, oder auch (in diesem Fall hier) x=2? Danke für euer Feedback! |
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| 24.02.2023, 10:19 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heyho, Die waagerechte Asymptote kann ich bestätigen. Für Polstellen gibt es senkrechte Asymptoten, die du mit x = 2 richtig benannt hast. Ich würde diese ganz klar angeben, wenn nach "Asymptoten" gefragt wird und ich in der Lage bin solche zu benennen/errechnen (man im Unterricht also weit genug gekommen ist). |
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| 24.02.2023, 15:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Generell sind - bei gebrochen rationalen Funktionen p(x) = z(x)/n(x) - die Asymptoten hinsichtlich zweier Kriterien zu ermitteln: - Nullstellen des Nenners n(x) = 0; diese sind Unstetigkeits- bzw. Sprungstellen, und sie werden auch mit "Polstellen" bezeichnet. An diesen Stellen befinden sich die vertikale Asymptoten x = xn (xn sind die Nullstellen von n(x)). - Polynomdivision und Grenzwertberechnung (für x >> Unendlich) des Restpolynomes: Dabei gibt es folgende Fälle bezüglich des Grades (der Ordnung) des Zähler- und Nenner-Polynomes: - grad (z(x)) = grad (n(x)) .. waagrechte Asymptote - grad (z(x)) = grad (n(x)) + 1 .. "schiefe" Asymptote, sie ist eine Gerade (Asymptotenkurve 1. Ordnung) - grad (z(x)) = grad (n(x)) + 2 .. Asymptotenkurve 2. Ordnung Die Berechnung erfolgt mittels Poynomdivision, das Restpolynom geht immer gegen Null. Unterscheiden sich die Ordnungen des Zähler- und Nennerpolynomes um mehr als 2, können zwar ebenfalls Asymptotenkurven bestimmt werden, diese sind jedoch von eher geringerem Interesse. Grafik 2: An der Stelle x = 2 befindet sich außerdem auch eine vertikale Asymptote (x = 2) mY+ |
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| 24.02.2023, 15:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei bereits bei Asymptotenkurven 2.Ordnung (also Parabeln) die optische Unterscheidung zwischen Funktions- und Asymptotenkurve schwer fällt. Das ist bei Asymptotengeraden doch erheblich leichter. |
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| 24.02.2023, 15:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deswegen auch:
Oder du meinst wahrscheinlich, wenn der Unterschied der Ordnungen 2 beträgt ... (müsste man mal zeichnen) mY+ |
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| 24.02.2023, 15:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, ich bezog mich explizit darauf:
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| 24.02.2023, 15:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, OK. So kann das aussehen: [attach]56866[/attach] Hier sieht man das asymptotische Verhalten der quadratischen Parabel doch recht gut. Hier ist allerdings noch abzuschätzen, in welcher x-Richtung die Annäherung erfolgt. Es muss offenbar gelten: asymp(x)-p_4(x) > 0, für alle positiven x, denn links gibt es einen Schnittpunkt. mY+ |
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| 24.02.2023, 15:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann muss ich weiter ausholen, auch wenn ich dachte, dass das von Anfang an klar wäre: Mir ging es darum, dass man durch den bloßen Anblick der Funktionskurve (natürlich weit genug) die Asymptotengerade einzeichnen kann. Gleiches bei einer Kurve vorzunehmen, die keine Asymptotengerade sondern eine Asymptotenparabel hat, erscheint optisch ungleich schwieriger. Aber lassen wir das. |
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