Integralrechnung Textaufgabe

24.02.2023, 12:06

uilo

Integralrechnung Textaufgabe

Meine Frage:
Ein Fahrzeug wird aus dem Stand beschleunigt und wieder abgebremst. Seine Geschwindigkeit ist gegeben durch die Funktion v mit v(t) = -1/2 * t^2 + 6t (t in Sekunden, v in).

1) Wann ist die Geschwindigkeit maximal? -> Nach 6 Sekunden

2)Wann kommt das Fahrzeug zum Stillstand? -> Nach 12 Sekunden

3)Welche Strecke hat es bis dahin zurückgelegt? -> 144 Meter

4)Bestimmen Sie einen Term einer Funktion, der den zurückgelegten Weg des Fahrzeugs in Abhängigkeit der Zeit beschreibt.

5) Zwei Sekunden nach Erreichen der Maximalgeschwindigkeit ändert sich nun der Geschwindigkeitsverlauf. Die Änderung der Geschwindigkeit bleibt ab diesem Zeitpunkt konstant. Wann kommt das Fahrzeug nun zum Stillstand? Welchen Weg hat es bis dahin zurückgelegt?

Meine Ideen:
Ich habe die ersten 3 Teilaufgaben schon berechnet, aber bei 4) und 5) hänge ich... Kann mir jemand helfen, wie ich hier vor gehe?

24.02.2023, 12:27

Ehos

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Bekanntlich ist die Geschwindigkeit die 1.Ableitung des Weges nach der Zeit gemäß $\begin{eqnarray*} v=\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray*}$ . Also ist umgekehrt der Weg das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

$\begin{eqnarray*} s(t)=\int_{t=0}^{t}v(\tau)\,\,d\tau \end{eqnarray*}$

Setze für $\begin{eqnarray*} v(\tau) \end{eqnarray*}$ die gegebene Funktion ein und integriere ab. Die Integrationskonstante C ist so zu wählen, dass bei t=0 der Weg s=0 zurückgelegt wurde. Daraus folgt C=0.

24.02.2023, 12:42

uilo

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Und bis welche Grenzen soll ich integrieren, vielleicht von 0 bis 12?
und als Stammfunktion habe ich -1/6t^3+3t^2
stimmt das?

24.02.2023, 12:56

Ehos

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Ja, das stimmt. Die untere Integrationsgrenze ist t=0. Die obere Integrationsgrenze ist kein fester Zahlenwert, sondern die Variable t. Damit bekommst du wie gewünscht die zurückgelegte Wegtrecke s(t) in Abhängigkeit von der variablen Zeit:

$\begin{eqnarray*} s(t)=-\tfrac{1}{6}t^3+3t^2 \end{eqnarray*}$

24.02.2023, 13:02

uilo

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Danke für die Hilfe! Kannst du mir noch erklären wie ich bei der 5) vorgehe?

24.02.2023, 13:05

HAL 9000

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5) ist wohl so aufzufassen: Der besagte Änderungszeitpunkt ist ja $\begin{eqnarray*} t^* = 8s \end{eqnarray*}$ . Es soll nun offenbar für $\begin{eqnarray*} t\geq t^* \end{eqnarray*}$ gelten

$\begin{eqnarray*} v(t) = v(t^*) + v'\left(t^*\right)\cdot \left(t-t^*\right) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. die bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t^* \end{eqnarray*}$ quadratische Geschwindigkeitsfunktion wird ab da stetig und linear fortgesetzt, und zwar ohne "Knick" an der Übergangsstelle $\begin{eqnarray*} t^* \end{eqnarray*}$ .

24.02.2023, 13:06

mYthos

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Zu (5):

Die maximale Geschwindigkeit wird dann erreicht, wenn die Beschleunigung a gleich Null wird.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeut nach der Zeit.

Zu dem sich daraus ergebenden Zeitpunkt sind dann 2 s zu addieren.
Ab dort ist der Verlauf der Geschwindikeit dann linear, mit der Steigung der zu diesem Zeitpunkt (negativen) Beschleunigung ebendort.

Hilft dir das zunächst so weit?

mY+

24.02.2023, 13:13

mYthos

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@HAL

Mit dieser (fast) Komplettlösung hätte ich gerne noch bis zur Antwort des TE zugewartet!

mY+

24.02.2023, 13:13

uilo

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Wie ich es dann richtig verstanden habe, kommt das Fahrzeug in 14 Sekunden zum Stillstand?.. und wenn ich die Strecke berechnen möchte muss ich diese 14 Sekunden wahrscheinlich in s(t) einsetzen..

24.02.2023, 13:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Mit dieser (fast) Komplettlösung

Das beziehst du jetzt aber nur auf die Grafik, oder? Der Ansatz ist lediglich Standard für eine Tangentengleichung im Punkt $\begin{eqnarray*} (t^*,v(t^*)) \end{eqnarray*}$ .

24.02.2023, 13:23

mYthos

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Ja, die Grafik meine ich.
Aber lass mal, @uilo wird uns im Gegenzug seine saubere Rechnung zeigen! Big Laugh

, jetzt weiß er/sie (hoffentlich), was herauskommen soll.

mY+

25.02.2023, 09:46

mYthos

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Zitat:

Original von uilo
Wie ich es dann richtig verstanden habe, kommt das Fahrzeug in 14 Sekunden zum Stillstand?.. und wenn ich die Strecke berechnen möchte muss ich diese 14 Sekunden wahrscheinlich in s(t) einsetzen..

Nein, die 14 stimmen nicht! Auch wenn du nicht "in", sondern "nach" 14 s meinen solltest.
Entweder siehst du dir Grafik nochmals an, oder besser noch, du rechnest es mal selbst, wie es dir schon nahegelegt wurde.

Nach welcher Zeit ist die Geschwindigkeit maximal? Dazu dann 2 addieren. Ab hier gibt es einen linearen Geschwindigkeitsverlauf (Steigung negativ ...)
Die Nullstelle dieser Geraden markiert den gesuchten Zeitpunkt.

mY+

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