Endliche Menge finden, sodass das Jacobisymbol ungleich 1 ist

24.02.2023, 12:11	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Menge finden, sodass das Jacobisymbol ungleich 1 ist Hallo mal wieder wie viele sicherlich wissen, beschäftige ich mich im Rahmen meiner Masterarbeit mit diesem Paper. Ich erwarte natürlich nun nicht, dass ihr das lest für meine Frage(n). Ich fasse es kurz zusammen. Der Test lautet: [attach]56865[/attach] Es geht also nun darum, ein Element $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zu finden so, dass das Jacobisymbol $\begin{eqnarray} \left(\frac{D}{N}\right) \neq 1 \end{eqnarray}$ ist. Die offene Frage im Paper ist meiner Recherche nach immernoch nicht beantwortet. Jetzt gehe ich nicht davon aus, dass ich sie lösen kann, trotzdem würde mich interessieren, in welche Richtung man so etws überhaupt angeht. Die Frage ist, ob für festes $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ eine endliche Menge $\begin{eqnarray} \mathfrak{D}_h \end{eqnarray}$ exisitert, sodass für alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} D\in\mathfrak{D}_h \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \left(\frac{D}{n}\right) \neq 1 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} h\not\equiv 3 \end{eqnarray}$ ist dies mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{D} = \{3\} \end{eqnarray}$ leicht nachzuweisen. Dazu konnte ich schon zwei notwendige Voraussetzungen zeigen: 1. $\begin{eqnarray} D \nmid h \end{eqnarray}$ , denn sonst ist das Jacobisymbol $\begin{eqnarray} =1. \end{eqnarray}$ 2. Für $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ von der Form $\begin{eqnarray} h= n^2-1 \end{eqnarray}$ exisitert keine solche, endliche Menge. Der Beweis ist leicht erbracht, wähle als Exponenten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ das Produkt der Ordnungen $\begin{eqnarray} \ord_D(2) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} D\in\mathfrak{D} \end{eqnarray}$ . Auch dann ergibt das Jacobisymbol $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Außerdem konnte ich zeigen, dass es genügt, sich auf Primzahlen zu beschränken und dass die Größenordnung $\begin{eqnarray} D\leq \frac{n-1}{2} \end{eqnarray}$ ausreicht. Mit Hilfe von HAL 9000 konnte ich beispielsweise für $\begin{eqnarray} h = 21 \end{eqnarray}$ zeigen, dass eine endliche Menge existiert, $\begin{eqnarray} \mathfrak{D} = \{5,11,13\} \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich wirklich nicht, wie ich mal weiterforschen könnte Wie geht man so etwas an? Danke an jeden Leser und Helfer

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