Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen |
| 24.02.2023, 16:54 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen Stellen wir uns mal ein Fünfeck vor und an jeder Ecke ist eine natürliche Zahl positioniert mit der Eigenschaft, dass benachbarte "Eckzahlen" zusammen addiert eine Quadratzahl ergeben, wobei die "Eckzahlen" alle unterschiedlich sein müssen. Eine mögliche Lösung wäre dann beispielsweise die Reihenfolge: 1-3-6-10-15 Das Problem wird nun um die Bedingung erweitert, dass die "Eckzahlen" aus den natürlichen Zahlen von 1 bis n bestehen sollen. Damit alle benachbarten Zahlen wiederum eine Quadratzahl in Summe ergeben können, wird man erst ein entsprechendes (kleinstes) n-Eck finden müssen, welches auch tatsächlich existiert 
Doch die Frage, die ich mir stelle, ist: Gibt es ab einer bestimmten n-Eck-Größe das Merkmal, dass alle Nachfolgenden (also lückenlos) mindestens eine Lösung für die Quadratsummenforderung liefern können? Oder anders ausgedrückt: Kann bewiesen werden, dass immer wieder Fälle (Lücken) auftauchen können, für die es keine Lösung gibt, egal wie groß n wird? „Aus der Hüfte geschossen“ würde ich sagen, dass mit immer größer werdenden n auch die Paarungsmöglichkeiten der benachbarten Summen steigen werden und diese immer mehr Potenzial für mindestens eine mögliche Lösung liefern sollten. Aber man kann ja viel behaupten … Wäre interessant zu wissen, ob man das überhaupt „so auf die Schnelle“ beweisen kann, dass es irgendwann keine Lücken mehr gibt (auch wenn man nicht direkt das n nicht angeben kann, ab dem das geschieht)??? Ich kann es leider nicht. 
Gruß Conny. |
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| 28.02.2023, 15:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn es dich tröstet: Die meisten (inklusive ich) haben schon Probleme, überhaupt das hier
zu bewältigen: Ich hab das doch richtig verstanden, man muss dazu ein -Eck angeben, wo jede der Eckzahlen jeweils GENAU einmal vorkommt und welches diese Quadratsummeneigenschaft hat? Vielleicht kannst du dieses kleine bzw. sogar kleinste Beispiel ja mal nennen.
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| 28.02.2023, 15:29 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@HAL So wie ich die Aufgabe verstanden habe, aber nicht lösen konnte: Man findet für jedes ein Tupel mit ist für alle Quadratzahl sowie . Für hat Conny das Beispiel gefunden. |
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| 28.02.2023, 15:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen Ja, dachte ich erst auch. Aber dann kam der Satz
Geht es hierbei nun wirklich um ein -Eck, oder doch "nur" um ein -Eck mit . |
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| 28.02.2023, 19:33 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen
Hallo, ja, ich sehe ein, dass ich durch das erste Beispiel (Fünfeck) für etwas Verwirrung gesorgt habe, da es sich nicht um die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 handelt, die mit der nachgestellten Bedingung theoretisch für das Fünfeck hätten verwendet werden müssen. Daher liefert das Fünfeck keine Lösung. Es müssen in dem n-Eck auf jeden Fall die Zahlen 1, 2, 3, …, n auftauchen, nur durcheinander gewürfelt, um die Quadratzahlsummen zu ergeben. Gehen wir einmal vom kleinsten Polygon (dem Dreieck) aus, dann müssten die Zahlen 1, 2, 3 angeordnet werden. Das Dreieck liefert aber keine Lösung, besitzt aber die 3 als größtes Element. Jedes Element muss mindestens zwei Möglichkeiten liefern, eine Quadratzahlsumme zu bilden. n=3 : die 3 erfordert somit n=6 n=6 : die 6 erfordert somit n=10 und schließt die Zahl 8 ein n=8 : die 8 erfordert somit n=17 n=17 : die 17 erfordert somit n=19 und schließt die Zahl 18 ein n=18 : die 18 erfordert somit n=31 Demzufolge sollten bei n<31 keine Lösungen zu finden sein. Es gibt aber zumindest eine Lösung für n=32. D.h., … -1-8-28-21- … Die Paarungsmöglichkeiten PM(n) ohne Wiederholung zur Erzeugung von Quadratzahlsummen (so meine Vermutung/Abschätzung) scheinen bei sehr großen n sich nach folgender Gesetzmäßigkeit zu entwickeln. Ob das aber überhaupt weiterhilft oder einen Ansatz für einen Beweis bietet? Ich fürchte leider nicht. Gruß Conny. |
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| 03.03.2023, 19:59 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen Hallo, mittlerweile bin ich (etwas abschweifend vom Thema) auch bzgl. „Kubikzahlsummen“ fündig geworden, die in ähnlicher Weise durch benachbarte Elemente gebildet werden und in einem Kreis (bzw. n-Eck) angeordnet werden können. Dabei habe ich zuerst betrachtet, wie groß n mindestens sein müsste: Wenn man wieder vom Startdreieck (1, 2, 3) ausgeht, kommt man zur folgenden Kette: ( -> der Pfeil steht kurz für „erfordert“) 3 -> 5 -> 22 -> 42 -> 83 -> 133 -> 210 -> 302 -> 427 427 schließt dann 256 ein. Somit abschließend: 256 -> 473 Wenn man nun davon ausgeht, dass es mit 473 funktionieren könnte, dann müssen folgende Elemente in einer Reihe stehen: … - 87 – 256 – 473 – 39 - … Und mittels Suchmaschine hat das schon für vereinzelte Treffer gesorgt 
Wer daran interessiert ist, kann sich die TXT-Datei anschauen. Ich habe dort ein paar Lösungen für n=473 parat gelegt. Aber Thema war ja eigentlich der Beweis gewesen … Ich glaube, dass man diesem Problem bisher nur numerisch beigekommen ist. (?) Gruß Conny. |
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| 04.03.2023, 16:58 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zahlen-n-Eck mit Quadratzahlsummen
Mittlerweile bin ich durch eigene Recherchen soweit gekommen, dass es auf jeden Fall einen anführbaren Beweis [Robert Gerbicz] für eine nicht geschlossene Zahlenkette gibt (n>=25). Wenn es wirklich auch einen Beweis für eine Zahlenschleife gibt (n>=32), das eigentliche Thema hier, dann werde ich diesen wahrscheinlich nicht mehr so leicht nachvollziehen können. Zumindest wird darauf verwiesen, aber mir ist noch nicht ganz klar, ob es sich nur um eine Vermutung handelt oder die Aussage für n>=32 auch definitiv bewiesen wurde. Als Anlage hier noch die entsprechenden Links zu dem Thema ... Gruß Conny. |
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