Nullstelle von Polynom

25.02.2023, 16:55	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle von Polynom Hallo zusammen, betrachten wir $\begin{eqnarray} x^{n+2}-\left(\sum_{k=0}^nx^k\right)=0 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ natürliche Zahl gegen unendlich. Ich vermute, je größer $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , desto näher liegt eine Nullstelle bei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , dem Goldenen Schnitt. Wie kann ich das beweisen? Danke.
25.02.2023, 17:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstelle von Polynom Es klingt plausibel... Man kann leicht nachrechnen (in der Hoffnung ich habe mich nicht verrechnet...), dass $\begin{eqnarray} x^{n+2} - \left(\sum_{k=0}^nx^k\right) = (x^2 - x - 1) \left(\sum_{k=0}^nx^k\right) + x \end{eqnarray}$ ist. Für $\begin{eqnarray} x=\phi \end{eqnarray}$ ist also der Term identisch zu $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=0}^nx^k\right) \to \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . Konkreter für $\begin{eqnarray} x = \phi \pm \epsilon \end{eqnarray}$ bekommen wir $\begin{eqnarray} (x^2 - x - 1) \left(\sum_{k=0}^nx^k\right) + x = \pm \epsilon ( 2 \phi + \epsilon - 1)\left(\sum_{k=0}^n (\phi \pm \epsilon)^k\right) + \phi \pm \epsilon \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} 0 < \epsilon < \frac 1 2 \end{eqnarray}$ divergiert im postiven Fall der Term für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ , im negativen Fall gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . D.h. der Zwischenwertsatz liefert das Ergebnis (ganz grob, man muss noch einige Details nachprüfen).
25.02.2023, 19:08	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, IfindU.
28.02.2023, 13:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} f_n(x) = x^{n+2} - \sum_{k=0}^nx^k \end{eqnarray}$ gilt die Darstellung $\begin{eqnarray} f_n(x) \stackrel{!}{=} \frac{\left(x^2-x-1\right)\cdot x^{n+1} + 1}{x-1} \end{eqnarray}$ zumindest für $\begin{eqnarray} x\neq 1 \end{eqnarray}$ , an der scheint das mit dem Goldenen Schnitt schon direkt ganz gut sichtbar zu sein. Ersetzt natürlich nicht die genauen Betrachtungen von IfindU.

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