Schatten auf Dach oder daneben? |
| 26.02.2023, 09:34 | geo-Frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schatten auf Dach oder daneben? H(2|-6|3) (E(6|-2|3), F(0;4;2,5) und G((-4;0;2,5) Das Dach liegt somit in der Ebene K: x-y-24z= - 64 Im Punkt S(1|-6|5,5) befindet sich die Spitze eines senkrecht zur x-y--Ebene verlaufenen Mastes. Ein Lichtstrahl fällt in Richtung v=(0;4;7) <- Spaltenvektor auf die Dachebene. a) Berechnen Sie den Schattenpunkt der MAstspitze auf der Dachebene. b) Begründen Sie, ob auf der Sptize eine Satelliltenschüssel angebracht werden kannn ohne zu diesem Zeitpunkt das Dach zu beschatten. zu a) Gerade aufgestellt , in Koordinatenformeingestellt ==> SP(1|-4,5|2,8) ist korrekt zu b)wie beurteile ich das? Idee: Zur z-Koordinate ist zu sagen, das Dach hat vorne eine Höhe von 3m und hinten 2,5m, d.h. es wäre theoretisch möglich, dass der Punkt auf der Dchfläche liegt und nicht daneben. Zur x-Richtung ? und zur y-Richtung? Bin ich mir nicht sicher Der x-Wert des Schnittpunktes liegt zwischen allen gegeben x-Koordinaten des Daches, aber heißt es dann automatisch, dass er dann auf dem Dach liegt? Er könnte ja je nach y.-Koordinate auch schräg davor liegen. Bei y-Koordinate gleiche Frage? Es liegt zwischen allen gegebenen y-Koordinaten. Ist das als Begrüundung aureichend? |
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| 26.02.2023, 12:27 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist also zu untersuchen, ob der Schattenpunkt SP innerhalb des von den 4 Punkten der Ebene aufgespannten Gebietes liegt, oder nicht. Dazu kann man Linearkombinationen der Vekoren, die die Ebene aufspannen, verwenden. So kann man zunächst die Lage des Schnittpunktes innerhalb eines von 3 Punkten bestimmten Dreieckes feststellen. Eine graphische Bestimmung ist mit den Mitteln der Darstellenden Geometrie relativ einfach. Darf dies verwendet werden? Eine Möglichkeit ist eventuell auch, sogenannte baryzentrische Koordinaten einzuführen, das ist allerdings nicht ein Gegenstand der Schulmathematik. --------------------------- Nachtrag: Bei dem Schnittpunkt SP des Lichtstrahles mit der Ebene habe ich andere Koordinaten >> SP (1; -7.42; 3.02) !! mY+ |
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| 26.02.2023, 15:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mittlerweile ist die Form des Daches als Parallelogramm zu erkennen. Das erleichter die Rechnung einigermaßen. ---------------- Mit den Baryzentrischen Koordinaten funktioniert es auch ganz gut, dieses Vorgehen ist aber relativ recheninensiv. Man muss dabei Gewichtungen über Teilflächen vornehmen und die Flächen mittels Kreuzprodukt bestimmen. ----------------- [attach]56870[/attach] Bestimme nun die Vektoren G_F und G_H, desgleichen den Vektor G_SP Wenn der Punkt innerhalb des Parallelogrammes liegen sollte, müsste der Vektor G_SP als Linearkombination dermaßen darstellbar sein, dass alle Parameter positiv und kleiner oder gleich 1 sind. Prüfe dies nun durch Rechnung nach! Wie es schon in der Grafik ersichtlich ist, liegt der Schattenpunkt NICHT in der Dachebene und die Rechnung muss dies auch bestätigen! [] mY+ |
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| 26.02.2023, 16:23 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese hatte ich vorhin auch zunächst rausbekommen. Da geo-Frage seine Lösung aber schon als korrekt bezeichnet hat, gehe ich davon aus, dass der Lichtstrahl in Richtung fallen soll, also sinnvollerweise auf die x-y-Ebene zu. Ich stell zum Überfluß mein Bild auch noch rein: [attach]56871[/attach] |
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| 26.02.2023, 17:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um so besser, jetzt kann geo-Frage die Rechnung mit den geänderten Koordinaten selbstständig zu Ende führen. Am Rechenweg ändert sich nichts. Jedoch stimmt sein/ihr Schattenpunkt noch immer nicht ganz, er/sie muss schon genauer rechnen (Runden auf 2 Dez.): SP = (1; 4.51; 2.90) Wie es jetzt hinsichtlich dessen Lage auf der Dachfläche aussieht, wird vorerst auch noch nicht verraten .... (Wie lauten nunmehr die Parameter? Und was folgt aus deren Werten?) mY+ |
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| 26.02.2023, 17:35 | geo_Frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also um es genau zu prüfen, müssten ich aus drei Punkten ein dreieck bilden und dann mit der Linearkombination prüfen, ob der Betrag < oder kleiner 1 ist. Anders ist es nicht möglich? Also einfach über den Abgleich der Koordinaten? |
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| 26.02.2023, 18:06 | geo_-Frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Musterlösung steht: Wegen -4<xs'<6 und 2,5<zs'<3 liegt der Schattenpunkt auf der Dachfläche. Kann mir jemand erklären, warum diese Begründung ausreicht? |
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| 26.02.2023, 18:36 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmal kleine Zwischenbemerkung dazu: Die Bedingungen für ein Dreieck wurden früher z. B. mal hier angesprochen. Fürs Parallelogramm hat mYthos die Bedingung schon angegeben. |
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| 26.02.2023, 19:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Begründung in der Musterlösung mag aus der besonderen Lage der 4 Punkte resultieren. Eher von Bedeutung ist die allgemeine Methode der Lagebestimmung wie vorhin erläutert. [attach]56872[/attach] --------------------------------------------------------------- ------------------------------------- (Lösungen des redundanten Systems) Was bedeutet dies für die Lage von SP bezüglich der Dachfläche? @geo-Frage Kein Wort über deinen Angabefehler und eine Anerkennung unserer Hilfe .., zur Netiquette in einem Board gehört das sicher nicht :-( mY+ |
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| 26.02.2023, 20:03 | geo_Frage_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, du hast recht. Bin natürlich sehr froh, dass der Angabefehler erkannt wurde und volkommen richtig korrigiert wurde. Sorry dafür, war so mit den Antworten beschäftigt, dass ich das völlig ausgeblendet hatte. Danke euch auf alle Fälle |
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| 26.02.2023, 22:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut! 
Hier noch der Grundriss des Daches. Auch dort kann die Lage des Punktes SP (SP' ist der Grundriss) innerhalb der Dachfläche und das entsprechende Vektordreieck erkannt werden. Dies korrespondiert auch mit der in der Musterlösung beschriebenen Begründung. [attach]56875[/attach] mY+ |
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| 26.02.2023, 23:13 | Geo-Frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke nochmals, vor allem für die gute Visualisierung. Trotzdem habe ich noch eine Frage. Warum reicht es die X und die Z Koordinate abzugleichen. Die Y Koordinate wird in der Musterlösung nicht zu rate gezogen. |
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| 27.02.2023, 00:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das liegt erstens daran, dass die Dachebene ein Parallelogramm (in wahrer Größe sogar ein Rechteck) ist und zweitens, dass die Punkte E, F, G, H und SP allesamt in einer Ebene (der Dachebene) liegen. Stimmen die Teilverhältnisse bereits in zwei Koordinatenrichtungen, ist dies automatisch auch für die dritte der Fall. Wenn wir uns dennoch die y-Werte ansehen, so liegt der y-Wert von SP = -4.15 zwischen jenen von H (yh=-6) und F (yf=4). ----------- Um von Vornherein Fehlinterpretationen auszuschließen und auch bei anderen Flächen sichere Aussagen treffen zu können, empfiehlt sich dringend das bereits hier vorgestellte exakte Verfahren. Mir ist nicht ganz klar, weshalb du dieses nicht in dieser Weise durchführen willst. mY+ |
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| 27.02.2023, 21:15 | geo--Frage | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. Doch ich würde das andere Verfahren durchführen. Ich habe selbst die Variante mit den Dreiecken gerechnet. Mir geht es nur darum, dass ich die Musterlösung auch verstehen will. Und mir war es nicht ganz logisch mit der y-Koordinate. Wenn ich mir die Grundriss-Ansicht anschaue, läge ja z.B. eine Punkt wie (0,5|-5|irgendwas zwischen 2,5 und 3) auch in der Dachebene. Aber dennoch nicht auf dem DAch obwohl alles Koordinaten zwischen dem jeweils größte und kleinsten Wert der jeweiligen Koordinate liegen. Hier wären x , y und z Koordinate im entsprechenden Bereich, aber es würde dennoch nicht passen. Dies hat sich mir noch nicht erschlossen, warum es dann, wenn es bei x und z passt auch bei y passen muss. |
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| 28.02.2023, 14:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmals: Weil SP auf jeden Fall in der Gesamt-Ebene, die das Dach aufspannt, liegen muss, auch wenn dies einmal außerhalb der Dachfläche der Fall sein sollte. Siehst du den Grundriss an, so ist bereits die Lage des Grundriss-Punktes SP' eindeitig bestimmend für die räumliche Lage des Punktes SP. Denn dieser kann nicht oberhalb oder unterhalb der Ebene liegen, sondern IN ihr. Der Grundriß ist eine in z-Richtung verlaufende Normalprojektion des Raumes R3 auf den zweidimesionalen Raum R2 (x,y - Ebene). Deswegen auch der Hinweis auf die Darstellende Geometrie. Dort sind die Bilder in Grund-, Auf- und ggf. auch in enem Seitenriss (z.B. x1,3) eindeutig darstellbar. [attach]56882[/attach] Sowohl im Grundriss (die Punkte sind mit ' bezeichnet) als auch im Aufriss (grün, Bezeichnung mit '') sieht man die Bilder von SP innerhab des Dachviereckes. Im Grundriss nun sieht man die von dir angesprochenen y-Koordinaten als Abstände bezüglich der x-z - Ebene (senkrecht zur x-Achse nach unten) Im Aufriss erscheinen jedenfalls die z-Abstände als Höhen in Bezug auf die x-y - Ebene. Zur übersichtlichen Darstellung sind allerdings die Kotierungen (d.i. die Umsetzung der gegebenen Koordinaten) der Punkte nicht gerade angenehm, denn der Aufriss ist sehr schmal. Da der Lichtstrahl in bzw. parallel (x = 1) zu der y-z - Ebene verläuft, ist auch dabei die Darstellung etwas unübersichtlich und ich habe wenigstens die Lichtrichtung in der Skizze umgekehrt. In einem Seitenriss wäre das natürlich viel besser zu sehen. ---------- Ist dies jetzt für dich verständlich? mY+ |
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