Lagrange-Funktion

27.02.2023, 10:39

MMchen60

Lagrange-Funktion

Liebe Forumsgemeinde, ich hänge an der Teilaufgabe gemäß Anhang. Ich habe die Lagrange-Funktion aufgestellt (ist sie richtig so?) und bereits die jeweiligen Ableitungen nah x, y und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gebildet.
Frage: kann ich bereits an dieser Stelle die Fragestellung "Weisen Sie nach dass (x0;y0) eine stationäre Stelle des Problems ist..." beantworten oder muss ich die Rechnung mit Eliminierung von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und Folgeschritte durchführen?
Vielen Dank für Antwort-

P.S.: habe gerade festgestellt, dass es in Gleichung L_y nicht -26y sondern 26 y heißen muss, das berührt zunächst mal nicht die Fragestellung.

27.02.2023, 10:54

HAL 9000

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Verwechselst du nicht die zu optimierende Funktion mit der in der Nebenbedingung??? M.E. geht es hier um

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda) = x^2(y-1)-6y^2+8 + \lambda(4x^2+13y^2-17) \end{eqnarray*}$ .

27.02.2023, 10:55

mYthos

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Ich würde das Problem so angehen:

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda) = x^2(y-1)-6y^2+8 + \lambda(4x^2+13y^2-17) \end{eqnarray*}$
-------------

$\begin{eqnarray*} (1) \ L_x = 2x(y-1) + 8\lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ L_y = x^2 - 12y +26\lambda y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \ 4x^2 + 13y^2 - 17 = 0 \end{eqnarray*}$ .. Nebenbedingung, muss nicht abgeleitet werden, (1/-1) erfüllt diese! (Prüfen mittels Einsetzen!)
------------------------------------

Nun das System nach x, y, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen.

mY+

P.S.: Eine Frage an dich: Weshalb antwortest du in keinem deiner Themen, in welchen du Hilfe von mir bekommen hast? Auch die PN ignorierst du! :-(
Das gehört sicher nicht zur Netiquette in einem Board, um nicht zu sagen, das ist extrem unhöflich!.
Die Konsequenz ist, dass du künftig ebenso ignoriert wirst.

27.02.2023, 11:34

MMchen60

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Zitat:

Original von mYthos
Nun das System nach x, y, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen.
mY+

Hallo OK danke für die Antwort. Habe das nun nachvollzogen, komme bei der Auflösung zu total verqueren Lösungen (siehe Anhang). Was ist da schon wieder falsch?

Zitat:

Original von mYthos
P.S.: Eine Frage an dich: Weshalb antwortest du in keinem deiner Themen, in welchen du Hilfe von mir bekommen hast? Auch die PN ignorierst du! :-(
Das gehört sicher nicht zur Netiquette in einem Board, um nicht zu sagen, das ist extrem unhöflich!.
Die Konsequenz ist, dass du künftig ebenso ignoriert wirst.

Hallo sorry, tut mir leid, muss ich wohl etwas übersehen haben. Ich gelobe Besserung.
VG MMchen

27.02.2023, 11:58

mYthos

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Der Fehler ist in der letzten Zeile (!), unter der Wurzel kommt nämlich 484 + 2652 = 3036
Die Wurzel daraus ist dann 56.
--------------
Ein etwas anderer Lösungsweg ist, aus den ersten beiden Gleichungen x, y zu eliminieren und damit eine Gleichung in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu erreichen,

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2y(6-13 \lambda) = 12 - 74 \lambda + 104 \lambda^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 1 - 4\lambda \end{eqnarray*}$
-------------------------------

und damit in die 3. Gleichung zu gehen. Die Lösungen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kommen dann als

$\begin{eqnarray*} 156 \lambda^2 - 100 \lambda + 11 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac 1 2 \ \vee \ \lambda = \frac{11}{78} \end{eqnarray*}$

x, y folgen dann durch Einsetzen.

Infolge des Quadrierens von y kann man sich (falsche) Scheinlösungen einhandeln, daher sind alle Lösungen durch nochmaliges Einsetzen in die Anfangsgleichungen zu überprüfen.

Der Fall x = 0 ist dann noch getrennt zu untersuchen ....

mY+

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