DGL n-ter Ordnung in 1. Ordnung überführen

28.02.2023, 08:13

MMchen60

DGL n-ter Ordnung in 1. Ordnung überführen

Liebe Forumsgemeinde,
bin da auf eine Aufgabe gestoßen (siehe Anhang), mit der ich zunächst nichts anfangen kann.
Die erste Frage wäre wie kommt man von der gegebenen DGL 2.ter Ordnung auf die Lineare DGL 1. Ordnung, wie sind da die Regeln?
Wie man dann für Lösung b) auf die e-Ausdrücke kommt, weiß ich, Eigenwerte bestimmen für den Exponenten von e. Aber, wie kommt man auf den Rest des Ergebnisses mit $\begin{eqnarray*} + \frac {15}{8}- \frac {5}{2}x \end{eqnarray*}$ ?
Danke für Antwort.

28.02.2023, 08:44

HAL 9000

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Es gibt keine Regeln auf DIE zugehörige DGL erster Ordnung für einen dann zweidimensionalen Vektor zu kommen.

Sondern es gibt EINE naheliegende Möglichkeit: Die eine Komponente ist unsere gesuchte Funktion, die andere deren Ableitung. So setzt man im vorliegenden Fall einfach $\begin{eqnarray*} y_2 = y_1' \end{eqnarray*}$ , was man als $\begin{eqnarray*} y_1' = 0\cdot y_1 + 1\cdot y_2 + 0 \end{eqnarray*}$ schreiben kann (erste Matrixzeile).

Dann ersetzen wir in der DGL $\begin{eqnarray*} y_1'' - 3y_1'-4y_1 = 10x \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} y_1' \end{eqnarray*}$ durch eben jenes $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} y_1'' \end{eqnarray*}$ entsprechend durch $\begin{eqnarray*} y_2' \end{eqnarray*}$ und bekommen $\begin{eqnarray*} y_2' - 3y_2-4y_1 = 10x \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} y_2' = 4y_1 + 3y_2 + 10x \end{eqnarray*}$ (zweite Matrixzeile)

Die Festlegung $\begin{eqnarray*} y_2 = y_1' \end{eqnarray*}$ ist - wenn auch die naheliegende Variante - aber in gewisser Weise willkürlich, man könnte genauso gut $\begin{eqnarray*} y_2 = 2y_1' + 7y_1 \end{eqnarray*}$ festlegen und bekäme dann eine andere Matrix.

Zitat:

Original von MMchen60
Wie man dann für Lösung b) auf die e-Ausdrücke kommt, weiß ich, Eigenwerte bestimmen für den Exponenten von e.

Etwas genauer, dann wird auch klar, wie man die inhomogene Gleichung löst. Wozu hast du denn die Darstellung als DGL erster Ordnung aufgestellt, wenn du sie dann nicht nutzt?

28.02.2023, 10:20

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MMchen60
Wie man dann für Lösung b) auf die e-Ausdrücke kommt, weiß ich, Eigenwerte bestimmen für den Exponenten von e.

Etwas genauer, dann wird auch klar, wie man die inhomogene Gleichung löst. Wozu hast du denn die Darstellung als DGL erster Ordnung aufgestellt, wenn du sie dann nicht nutzt?

Besten Dank für deine Erläuterungen. Der erse Teil ist mir jetzt klar, der zweite Teil mit der inhomogenen Lösung noch nicht. Wärest du bitte so gut und mir das noch mal etwas genauer zu erläutern? Danke.

28.02.2023, 11:15

HAL 9000

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Genau genommen geht man ja bei der Vektor-DGL erster Ordnung so vor: Die Diagonalisierung von $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 4 & 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} A=V\Lambda V^{-1} \end{eqnarray*}$ mit Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} \Lambda = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und zugehöriger Eigenvektormatrix $\begin{eqnarray*} V = \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 1 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , deren Inverse ist $\begin{eqnarray*} V^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Substitution $\begin{eqnarray*} z=V^{-1}y \end{eqnarray*}$ überführt dann die DGL $\begin{eqnarray*} y = Ay+ b(x) = V\Lambda V^{-1}y+b(x) \end{eqnarray*}$ in eine $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -DGL $\begin{eqnarray*} z = \Lambda z+ V^{-1}b(x) \end{eqnarray*}$ , komponentenweise geschrieben

$\begin{eqnarray*} z_1' = -z_1 + 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2' = 4z_2 + 2x \end{eqnarray*}$

Beide kann man GETRENNT als eindimensionale lineare DGL erster Ordnung lösen (wie du ja schon einige kennengelernt hast). Anschließend Rücksubstitution per $\begin{eqnarray*} y=Vz \end{eqnarray*}$ .

01.03.2023, 07:58

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Beide kann man GETRENNT als eindimensionale lineare DGL erster Ordnung lösen (wie du ja schon einige kennengelernt hast). Anschließend Rücksubstitution per $\begin{eqnarray*} y=Vz \end{eqnarray*}$ .

OK, danke, werde mal versuchen, das hinzubekommen, falls ich nicht weiterkomme, melde ich mich nochmal. VG MM

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