PDGL umstellen

28.02.2023, 12:09

SSil

PDGL umstellen

Hallo liebe Forengemeinde,

ich habe die Gleichungen (1) und (2)
$\begin{eqnarray*} \frac{dg(t, \boldsymbol{x})}{dt} = - c_1 f(t, \boldsymbol{x}) \left ( c_4 - h\left(t, \boldsymbol{x} \right) \right ) \, , \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t, \boldsymbol{x})}{c_2}=\left ( \frac{g(t, \boldsymbol{x})}{c_3} \right )^{\frac{2}{3}} \, , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ von der Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und dem Ort $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{x} \end{eqnarray*}$ abhängig und $\begin{eqnarray*} c_{1,...,4} \end{eqnarray*}$ Konstanten sind.
(1) und (2) sollen sich zu

$\begin{eqnarray*} \frac{df (t, \boldsymbol{x})}{dt} = - \frac{2c_1 \sqrt{{c_2}^{3}}}{3c_3} \sqrt{f(t, \boldsymbol{x})} \left ( c_4 - h \left (t, \boldsymbol{x} \right ) \right ) \quad \quad \quad (3) \end{eqnarray*}$

umstellen lassen. Das bekomme ich leider nicht hin.

Mein bisheriger Ansatz:
(2) nach $\begin{eqnarray*} g(t, \boldsymbol{x}) \end{eqnarray*}$ umstellen:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \quad {g(t, \boldsymbol{x})}^{\frac{2}{3}} = \frac{{c_3}^{\frac{2}{3}} f(t, \boldsymbol{x})}{c_2} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \quad g(t, \boldsymbol{x})= \frac{c_3}{ {c_2}^{\frac{3}{2}}} f(t, \boldsymbol{x})^{\frac{3}{2}} \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (5) \end{eqnarray*}$

(5) ableiten nach dt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dg(t, \boldsymbol{x})}{dt} = \frac{c_3}{{c_2}^{\frac{3}{2}}} \frac{d \left (f(t, \boldsymbol{x})^{\frac{3}{2}} \right )}{dt} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (6) \end{eqnarray*}$

(6) in (1):

$\begin{eqnarray*} \frac{c_3}{{c_2}^{\frac{3}{2}}} \frac{d \left (f(t, \boldsymbol{x})^{\frac{3}{2}} \right )}{dt} = - c_1 f(t, \boldsymbol{x}) \left ( c_4 - h\left(t, \boldsymbol{x} \right) \right ) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d \left (f(t, \boldsymbol{x})^{\frac{3}{2}} \right )}{dt} = - \frac{c_1 {c_2}^{\frac{3}{2}}}{c_3} f(t, \boldsymbol{x}) \left ( c_4 - h\left(t, \boldsymbol{x} \right) \right ) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (8) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht. Ich habe in (9) die linke Seite auseinander gezogen und vermute, dass dort bestimmte Umstellungen erlaubt sind, die mir aber nicht bekannt sind. Wie komme ich von hier zu (3) oder habe ich bereits vorher Umstellungsfehler gemacht?

$\begin{eqnarray*} \frac{d \left (f(t, \boldsymbol{x}) f(t, \boldsymbol{x})^{\frac{1}{2}} \right )}{dt} = - \frac{c_1 \sqrt{{c_2}^{3}}}{c_3} f(t, \boldsymbol{x}) \left ( c_4 - h\left(t, \boldsymbol{x} \right) \right ) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (9) \end{eqnarray*}$

Danke!

Gruß SSil

28.02.2023, 13:07

IfindU

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RE: PDGL umstellen
Ich verstehe nicht, warum du überhaupt (2) nach $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ umstellen möchtest., bevor du ableitest. Wenn wir (2) direkt mit Kettenregel ableiten, bekommen wir
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f }{\partial t } (t, \boldsymbol{x}) = c_2 \frac {\partial}{\partial t}\left ( \frac{g(t, \boldsymbol{x})}{c_3} \right )^{\frac{2}{3}} = c_2 \cdot \frac 2 3 \left ( \frac{g(t, \boldsymbol{x})}{c_3} \right )^{\frac{-1}{3}} \cdot \frac 1 {c_3} \cdot \frac{\partial }{\partial t } g(t, \boldsymbol{x}) \end{eqnarray*}$

Für das erste $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite kann man (5) einsetzen und für das zweite (1) und nach etwas vereinfachen ist man fertig.

01.03.2023, 12:02

SSil

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Danke!
So hat's funktioniert.

Zitat:

Ich verstehe nicht, warum du überhaupt (2) nach g umstellen möchtest., bevor du ableitest.

Ja, das war die mangelnde Routine. Lange nicht mehr gemacht. Hier konkret hatte ich nicht mehr das Auge für das Ableiten mit Kettenregel.

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