Drei Unbekannte und Exponenten

28.02.2023, 22:12

XIAOHAN

Drei Unbekannte und Exponenten

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe hier ein System mit drei Gleichungen, und drei Unbekannten. Erschwerend kommt hinzu dass wenn man die Klammern auflöst noch Exponenten hinzukommen:

$\begin{eqnarray*} a\:=\:\frac{x\:y}{4\:\pi \left(y\:-\:x\right)}+\frac{x\:z}{4\:\pi \left(z\:-\:x\right)}+\left(1\:-\:\frac{x}{4\:\pi \left(y\:-\:x\right)}\:-\:\frac{x}{4\:\pi \left(z\:-\:x\right)}\right)x,\:b\:=\frac{y\:x}{4\:\pi \:\left(y\:-\:x\right)}+\frac{y\:z}{4\:\pi \:\left(z\:-\:y\right)}+\left(1\:-\:\frac{y}{4\:\pi \:\left(y\:-\:x\right)}-\frac{y}{4\:\pi \:\left(z\:-\:y\right)}\right)y,\:c\:=\:\frac{z\:x}{4\:\pi \:\left(z\:-\:x\right)}+\frac{z\:y}{4\:\pi \:\left(z\:-\:y\right)}+\left(1-\frac{z}{4\:\pi \:\left(z\:-\:x\right)}-\frac{z}{4\:\pi \:\left(z\:-\:y\right)}\right)z\: \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe bisher nur mit zwei Unbekannten gearbeitet, und selbst dass nie mit Exponenten.

28.02.2023, 23:00

mYthos

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Ich nehme an, die Unbekannten sind x,y,z und a, b, c konstante Größen

Hast du schon versucht, diese Monster in ein CAS einzugeben?
Damit mal abzuklären ist, ob es überhaupt eine Lösung gibt und welche.

mY+

28.02.2023, 23:02

nichteuerernst

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RE: Drei Unbekannte und Exponenten
Wenn ich das auf die Schnelle richig übersehen, gehen a, b und c durch zyklisches Vertauschen von x, y und z auseinander hervor.
Wenn ich etwas Zeit für die Aufgabe hätte, würde ich zunächst den Ansatz a=b=c verfolgen.
(Den auch naheliegenden Ansatz x=y=z kann man verwerfen, weil da einige Brüche mit dem Nenner 0 entstehen würden.)

Aus das Bilden der Differenzen a-b und a-c (und c-b) wärre ein möglicher Einstieg.

01.03.2023, 09:58

HAL 9000

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Auch ohne CAS kommt man durch Multiplikation aller drei Gleichungen mit jeweils $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ sowie anschließender simpler Zusammenfassung der Terme auf den rechten Seiten zu dem primitiven "Gleichungssystem"

$\begin{eqnarray*} 4\pi a = (2+4\pi) x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\pi b = 4\pi y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\pi c= (-2+4\pi) z \end{eqnarray*}$ ,

dessen Lösung trivial ist.

Zitat:

Original von nichteuerernst
Wenn ich das auf die Schnelle richig übersehen, gehen a, b und c durch zyklisches Vertauschen von x, y und z auseinander hervor.

Das mag auf den ersten oberflächlichen Blick den Anschein haben, ist aber nicht so: Bei dem einen oder anderen Term verhindert ein umgedrehtes Vorzeichen dieses Verhalten.

P.S.: Ist womöglich eine Aufgabe, wo man das Durchhaltevermögen beim Umformen testen will. Augenzwinkern

01.03.2023, 10:38

mYthos

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Ich habe nächtens nicht mehr rechnen wollen und das Ding mal in verschiedene CAS eingegeben.
Interessant, bisher sind alle ausgestiegen, auch solche, die Online sind und GeoGebra ist sogar gleich abgestürzt.

EDIT: Der Fehler war NICHT an den CAS gelegen, sondern leider an einem systematischen Eingabefehler meinerseits, sorry!

mY+

01.03.2023, 11:06

HAL 9000

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Die Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ ist im Grunde genommen unnötig - ich versuche nur unnötig viele Brüche zu vermeiden. Auch ohne die kann ich ja mal farblich markieren, welche Terme zunächst zusammenzufassen sind:

$\begin{eqnarray*} a={\color{red} \frac{xy}{4\pi \left(y-x\right)}}+{\color{blue} \frac{xz}{4\pi \left(z-x\right)}}+ x{\color{red} -\frac{x^2}{4\pi \left(y-x\right)}}{\color{blue} -\frac{x^2}{4\pi \left(z-x\right)}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b={\color{red} \frac{yx}{4\pi \left(y-x\right)}}+{\color{green} \frac{yz}{4\pi \left(z-y\right)}}+ y{\color{red} -\frac{y^2}{4\pi \left(y-x\right)}}{\color{green} -\frac{y^2}{4\pi \left(z-y\right)}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c={\color{blue} \frac{zx}{4\pi \left(z-x\right)}}+{\color{green} \frac{zy}{4\pi \left(z-y\right)}}+ z{\color{blue} -\frac{z^2}{4\pi \left(z-x\right)}}{\color{green} -\frac{z^2}{4\pi \left(z-y\right)}} \end{eqnarray*}$

Dann löst sich alles sehr schnell in diesen Wohlgefallen auf:

$\begin{eqnarray*} a={\color{red} \frac{x}{4\pi}}+{\color{blue} \frac{x}{4\pi}}+ x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b={\color{red} -\frac{y}{4\pi}}+{\color{green} \frac{y}{4\pi}}+ y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c={\color{blue} -\frac{z}{4\pi}}{\color{green} -\frac{z}{4\pi}}+ z \end{eqnarray*}$

01.03.2023, 16:00

XIAOHAN

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Vielen Dank, HAL 9000,

Du hast es echt drauf. Du hast mir schonmal im Jahr 2018 geholfen (17.07.2018). Ich kreditiere dich in meinem Buch für die Lösung meiner Gleichung in Kapitel 3.12. Kenne deinen echten Namen nicht, daher hab ich einfach "HAL 9000" hingeschrieben.

MfG,
Sky Darmos.

Zitat:

Original von HAL 9000
Auch ohne CAS kommt man durch Multiplikation aller drei Gleichungen mit jeweils $\begin{eqnarray*} 4\pi \end{eqnarray*}$ sowie anschließender simpler Zusammenfassung der Terme auf den rechten Seiten zu dem primitiven "Gleichungssystem"

$\begin{eqnarray*} 4\pi a = (2+4\pi) x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\pi b = 4\pi y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\pi c= (-2+4\pi) z \end{eqnarray*}$ ,

dessen Lösung trivial ist.

01.03.2023, 23:26

mYthos

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Zur Ehre des CAS (und auch zu meiner Big Laugh

):

Auf Grund der neuen Erkenntnisse habe ich nochmals die Gleichungen bzw. die zu vereinfachenden Terme mittels CAS untersuchen lassen, denn es ist kaum vorstellbar, dass einem halbwegs guten CAS die an sich trivialen Umformungen entgehen.

Dabei habe ich festgestellt, dass mir bei der Eingabe in allen drei Gleichungen ein systematischer Fehler hinsichtlich eines Vorzeichens unterlaufen war.
Da dadurch die Teme bei der Umformung nicht kürzbar waren, konnte keines der CAS das somit irreduzibel gewordene komplexe System lösen.

Schade, denn nach der Korrektur steht sofort die tatsächlich sehr einfache Lösung da!

[attach]56887[/attach]

mY+

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