Kepler'sche Fassregel |
| 02.03.2023, 16:55 | ziullu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kepler'sche Fassregel Bestätigen Sie rechnerisch, dass mit der auf der Kepler'schen Fassregel für Rotationskörper (Fässer) das Volumen eines Zylinders und das eines Kegels exakt bestimmt werden können. Meine Ideen: Wie kann ich das rechnerisch beweisen.. Ich habe garkeine Idee |
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| 02.03.2023, 17:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kepler'sche Fassregel Nimm die Fassregel und die beiden Volumenformeln. Sie müssen jeweils identisch sein. Wenn es Schwierigkeiten gibt, melde Dich. Viele Grüße Steffen |
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| 02.03.2023, 17:05 | ziullu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kepler'sche Fassregel Aber bei der Fassregel brauche ich die Grenzen a und b, es ist aber nichts gegeben... |
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| 02.03.2023, 17:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kepler'sche Fassregel Nimm stattdessen 0 und h, der Zylinder bzw. Kegel steht dann auf Nullniveau und hat die Höhe h. Alternativ kannst Du aber auch mit a und b arbeiten, dann musst Du in den Volumenformeln halt b-a für die Höhe einsetzen. Was Dir besser gefällt. |
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| 02.03.2023, 17:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorteilhaft ist es unter Umständen, man lässt das Ganze um die x-Achse rotieren. Die z. B. bei der Rotation den Kegel erzeugende Mantellinie hat dann die Gleichung und erzeugt das Volumen in den Grenzen von 0 bis h. mY+ |
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| 02.03.2023, 17:44 | ziullu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe mal das mit r/hx mit dem Kegel ausprobiert.. ich bekomme mit der Fassregel 2h^2 +rh^2 /6 raus.. ich denke aber das stimmt nicht... |
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| 02.03.2023, 17:52 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt auch nicht. Aber leider ist meine Glaskugel gerade zur Inspektion, daher weiß ich nicht, wie Du gerechnet hast. |
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| 02.03.2023, 17:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Kepler-Regel liefert (für den Kegel) bei dem Integral von für die Stellen 0, h/2 und h insgesamt Geht's jetzt? Edit: Sorry Steffen, weil ich vorhin den Tipp mit (r/h)x gegeben habe, musste ich das noch abschließen. Ich gehe jetzt wieder raus, der Zylinder muss ja auch noch (analog) berechnet werden. mY+ |
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| 02.03.2023, 18:18 | ziullu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den Ansatz! Habe es nun gerechnet und habe r^2h/3 raus.. stimmt es nun? |
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| 02.03.2023, 19:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja! Rechne nun auf die gleiche Weise den Zylinder und zeige uns deine Rechnung! mY+ |
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| 02.03.2023, 19:35 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nuja, um Faktor daneben… |
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| 02.03.2023, 19:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Steffen Es geht bei der Kepler-Regel a priori NICHT um das Volumen, sondern um das Integral. Und dieses ist richtig so. Denn dabei kommt der Faktor pi (noch) nicht zum Zug, sondern erst beim Volumen, das ist sozusagen der zweite Schritt. mY+ |
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| 02.03.2023, 20:06 | ziullu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe nun den Zylinder ausgerechnet und pi*r^2*h raus.. |
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| 02.03.2023, 20:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mY+ I beg to differ. Die Fassregel erspart ja gerade das Integral, deswegen hat Kepler sie doch hergeleitet, denn die Fassbauer brauchten eine einfache Methode. Die Randflächen und die Mittenfläche zusammen mit der Höhe in die Formel, das war es. Und nur um eben diese Fassregel geht es bei der Aufgabe, nach Integralen ist nicht gefragt. @ ziullu Nimm also die obige Formel und setze die drei Flächen und die Höhe ein. Dann vergleiche mit den bekannten Volumenformeln. |
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| 02.03.2023, 21:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es! @Steffen Ein kleines Missverständnis, ich meinte die eng verwandte Simpson-Regel*, die in diesem Falle mit der Kepler-Regel identisch werden kann. Für das Volumen wäre theoretisch das bestimmte (Rotations-)Integral nötig, dessen Berechnung hier durch die Kepler-Regel ersetzt wird. So weit, so gut. Ersetzen wir allgemein das Rotations-Integral mit der Simpson-Regel (*) so erhalten wir eben die Fassregel (mit dem Faktor , f(x) ist das Quadrat der erzeugenden Funktion bei der Rotation) mY+ |
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