Normharmonisierung von Kreuz- und Keilprodukt

05.03.2023, 15:42	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Normharmonisierung von Kreuz- und Keilprodukt Wenn man des Keilprodukt mit $\begin{eqnarray} a \wedge b=\frac{ab^\text{T}-ba^\text{T}}{\sqrt 2} \end{eqnarray}$ ausrechnet, stimmt seine (Frobenius-)Norm im dreidimensionalen Fall mit der Norm des Kreuzprodukts $\begin{eqnarray} a \times b \end{eqnarray}$ überein. Ist die $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ im Nenner richtig?
07.03.2023, 16:01	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Inzwischen habe ich bemerkt, dass auch die Binet-Cauchy-Identität die $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ verlangt - und deshalb alle Hemmungen abgestreift, den hässlichen Nenner in der Keilproduktformel zu akzeptieren.
27.07.2023, 11:44	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand eine Quelle nennen, welche die Formel mit der $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ belegt? Woher ich sie selber habe, finde ich nicht mehr wieder. In den mir zugänglichen Texten finde ich (wahrscheinlich) alles über die Eigenschaften des Keilprodukts, aber nicht, wie man $\begin{eqnarray} a\wedge b \end{eqnarray}$ aus den Vektorkoordinaten ausrechnet.
29.07.2023, 19:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist einfach $\begin{eqnarray} \left\\| ab^T - ba^T\right\\|_F^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left(a_i b_j - a_j b_i\right)^2 \stackrel{!}{=} 2\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n \left(a_i b_j - a_j b_i\right)^2 \end{eqnarray}$ . Da ist der Faktor 2 beim Quadrat der Norm.
29.07.2023, 21:14	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL 9000 für deine Antwort! Ich kann die Gleichungskette nachvollziehen. Die Formulierung der Frobeniusnorm scheint unangefochtene Konvention zu sein. Beim Keilprodukt geht es mir um die Eichung. Wenn man $\begin{eqnarray} ab^\text{T}-ba^\text{T} \end{eqnarray}$ als Keilprodukt von a und b bezeichnet, gibt die Frobeniusnorm im Falle von 3D-Vektoren den Inhalt der aufgespannten Fläche um den Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ größer an als der Betrag des Kreuzprodukts. Das würde ich zum Anlass nehmen, das Keilprodukt generell mit $\begin{eqnarray} a\wedge b=\frac{ab^\text{T}-ba^\text{T}}{\sqrt2} \end{eqnarray}$ anzugeben. Ist diese Festlegung akzeptabel? Oder sollte man eine andere Norm anwenden?
30.07.2023, 14:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kenn mich damit nicht aus, sehe aber, dass die Frobenius-Norm von $\begin{eqnarray} \frac{ab^\text{T}-ba^\text{T}}{\sqrt2} \end{eqnarray}$ in allen Dimensionen $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ den Flächeninhalt des von $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ aufgespannten Parallelogramms darstellt, nicht nur für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ .
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31.07.2023, 17:10	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich jetzt weiter (halb-)schlau gelesen und komme zum Schluss, dass sich zwei Darstellungen mit gleichem Wert für die Norm anbieten: Das Keilprodukt $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ definieren mit $\begin{eqnarray} c=a\wedge b:=\frac{ab^\text{T}-ba^\text{T}}{\sqrt2} \end{eqnarray}$ und als Norm die Frobeniusnorm verwenden. Das Keilprodukt $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ definieren mit $\begin{eqnarray} c=a\wedge b:=ab^\text{T}-ba^\text{T} \end{eqnarray}$ und als Norm die Spektralnorm (von der euklidischen Norm abgeleitete natürliche Matrixnorm) $\begin{eqnarray} \|\|c\|\|=\sqrt{\lambda_\text{max}(c^\text{T}c)} \end{eqnarray}$ verwenden. Ich bevorzuge die letzte Variante, da sie ohne den unschönen Divisor $\begin{eqnarray} \sqrt2 \end{eqnarray}$ auskommt und auch die Spektral- wie die Frobeniusnorm durch Konvention festgelegt ist. Nochmal danke HAL 9000 für deine Beiträge!

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