Komplexe Pfadintegrale

06.03.2023, 10:06	tr	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Pfadintegrale Meine Frage: Hallo zusammen, mir steht eine Klausur in complex Analysis bevor und momentan bin ich noch etwas am Anfang was das Einarbeiten angeht. Ich habe eine Frage zu der angehängten Aufgabe, bei der es darum geht, Pfadintegrale zu berechnen. Ich würde mich erst mal auf Aufgabenteil a) beziehen. Meine Ideen: Ich weiß, dass man die einzelnen Pfade aufteilen und einzeln integrieren kann. Das erscheint mir insgesamt aber sehr viel Arbeit, vor allem für eine Klausuraufgabe. Gibt es für die einzelnen Integrale oder den gesamten Pfad einen Trick, mit dem diese einfacher werden? Die einzelnen Pfade sind nicht geschlossen, der gesamte zwar schon aber die Betragsquadratfunktion ist doch nicht holomorph oder? Also bringt mir das nichts? Für Tipps wäre ich dankbar.
06.03.2023, 10:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, bei (b) hast du Holomorphie. Und bei (a) kannst du zumindest bei $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_3 \end{eqnarray}$ den Integranden durch eine dort (!) gleich große holomorphe Funktion ersetzen: $\begin{eqnarray} \|z\|^2=1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = 4 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \gamma_3 \end{eqnarray}$ , das sollte bei einer einfachen Berechnung dieser Teilintegrale helfen. EDIT: Auch auf $\begin{eqnarray} \gamma_2,\gamma_4 \end{eqnarray}$ ist sowas möglich: Beide liegen komplett auf der imaginären Achse, und dort gilt überall $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = -z^2 \end{eqnarray}$ . Insofern kann man bei (a) mit pfadweise holomorphen Funktionen so rechnen: $\begin{eqnarray} \int\limits_{\gamma} \|z\|^2 ~ \dd z = \int\limits_{-i}^i 1 ~ \dd z ~-~ \int\limits_i^{2i} z^2 ~ \dd z + \int\limits_{2i}^{-2i} 4 ~ \dd z ~-~ \int\limits_{-2i}^{-i} z^2 ~ \dd z \end{eqnarray}$

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