Reflection property

06.03.2023, 19:49

Ulrich Ruhnau

Reflection property

In dem Buch Advanced Calculus Explored ist von einer "integral reflection property" die Rede:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \dd x =\int_{a}^{b} \! f(a+b-x) \dd x \end{eqnarray*}$

Sagenhafter Weise höre ich das erste Mal von dieser Formel. Ich habe sie auch noch nie in einer Formelsammlung entdeckt. Ist diese Formel allgemeingültig? Wie leitet man diese Formel her?

06.03.2023, 19:57

Finn_

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Achsenspiegelung an $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}. \end{eqnarray*}$

06.03.2023, 20:23

Ulrich Ruhnau

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Ich versuche mal die Achsenspiegelung umzusetzen:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{a+b}{2}-t \end{eqnarray*}$

liefert:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} \! f(x) \dd x =-\int\limits_{\frac{b-a}{2}}^{\frac{a-b}{2} } \! f\left(\frac{a+b}{2} -t\right) \dd t \end{eqnarray*}$

Das ist aber noch nicht der wahre Jacob!
Deshalb probiere ich es mal mit

$\begin{eqnarray*} x = a+b-t \end{eqnarray*}$

Das liefert:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b} \! f(x) \dd x =-\int\limits_{b}^{a } \! f(a+b-t) \dd t=\int\limits_{a}^{b} \! f(a+b-t) \dd t \end{eqnarray*}$
Damit ist das Gewünschte ja gezeigt und scheint allgemeingültig zu sein. smile

Und warum sehe ich diese Formel in keiner Formelsammlung?

06.03.2023, 20:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Und warum sehe ich diese Formel in keiner Formelsammlung?

Vielleicht weil sie auf einer primitiven Substitution basiert? Augenzwinkern

Wenn man sowas alles auflisten wollte, hätte man viel zu tun.

06.03.2023, 21:42

IfindU

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@Ulrich In der analogen Summenvariante fällt es dir vlt leichter zu sehen, warum das "trivial" ist: Es ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k &=& a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n \\ &=& a_n + a_{n-1} +a_{n-2} + \ldots + a_2 + a_1 + a_0 = \sum_{k = 0} ^n a_{n-k} \end{eqnarray*}$ .
Etwas anderes passiert hier auch nicht beim Integral.

Edit: Noch etwas mehr Ähnlichkeit (und vlt sogar ausreichend für einen Beweis beim Riemann-Integral):
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b c_k &=& c_a + c_{a+1} +c_{a+2} + \ldots + c_{b-2} + c_{b-1} +c_b \\ &=& c_b + c_{b-1} +c_{b-2} + \ldots + c_{a+2} + c_{a+1} + c_a = \sum_{k = a} ^b c_{b+a-k} \end{eqnarray*}$

06.03.2023, 21:45

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
[Wenn man sowas alles auflisten wollte, hätte man viel zu tun.

Zumindest hätte man eine tolle Auflistung von Ideen. Nicht jeder hat gute Ideen. Es wäre schön, wenn man sich in so einem Falle nur zu bedienen brauchte.

08.03.2023, 14:29

Ulrich Ruhnau

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Danke an alle beteiligten! smile

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