Aussagen verbinden (Jacobisymbol, quadratische Reste)

06.03.2023, 21:35

Malcang

Aussagen verbinden (Jacobisymbol, quadratische Reste)

Hallo zusammen,

ich tue mir oftmals schwer, Aussagen korrekt zu verbinden. Daher frage ich hier um eure Hilfe smile

Ich habe das folgende Resulat gelesen:
Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für den kleinsten quadratischen Nichtrest $\begin{eqnarray*} r \mod p: r\leq \frac{11}{10}p^{\frac{1}{4}}\log(p). \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich ja durch Kontraposition:
Falls alle $\begin{eqnarray*} r\leq \frac{11}{10}p^{\frac{1}{4}}\log(p) \end{eqnarray*}$ quadratische Reste sind, so ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zusammengesetzt oder $\begin{eqnarray*} p=2. \end{eqnarray*}$

Nun würde ich ja die quadratischen Nichtreste mit dem Legendre-Symbol untersuchen. Dies ist aber ja nur für ungerade Primzahlen definiert.
Für das Jacobisymbol wiederum habe ich das Folgende:
[attach]56898[/attach]

Jetzt frage ich mich, ob ich oben genannte Kontraposition schreiben darf als
Falls für alle zu $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilerfremden $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\leq \frac{11}{10}p^{\frac{1}{4}}\log(p) \end{eqnarray*}$ das Jacobisymbol $\begin{eqnarray*} \left(\frac{r}{p}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ ergibt, so ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zusammengesetzt oder $\begin{eqnarray*} p=2. \end{eqnarray*}$

Edit: Ah, gerade beim Absenden kam mir der Gedanke.
Ich glaube das ist nicht korrekt, da das Jacobisymbol zwar 1 ergeben könnte, aber es trotzdem ein quadratischer Nichtrest ist.
Stimmt das so?

07.03.2023, 17:20

HAL 9000

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Naja, für $\begin{eqnarray*} m=p_1p_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{p_1}\right)=\left(\frac{a}{p_2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sicher kein quadratischer Rest modulo $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und zugleich gilt aber $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{m}\right)=1 \end{eqnarray*}$ . D.h. die Umkehrung von 3.2.4 gilt sicher nicht.

08.03.2023, 13:40

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Naja, für $\begin{eqnarray*} m=p_1p_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{p_1}\right)=\left(\frac{a}{p_2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sicher kein quadratischer Rest modulo $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und zugleich gilt aber $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{m}\right)=1 \end{eqnarray*}$ . D.h. die Umkehrung von 3.2.4 gilt sicher nicht.

Danke HAL für die Antwort. Sorry dass ich mich erst jetzt wieder melde. Das hat unmathematische Umstände, liegt also nicht am Desinteresse smile

Aussagenlogik fällt mir, aus welchem Grund auch immer- immer wieder schwer.

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