Newton-Näherung

07.03.2023, 09:36

MMchen60

Newton-Näherung

Liebe Forumsgemeinde,
mir ist folgendes Problem unklar, Aufgabestellung e) gemäß Anhang.
Mit dem geforderten Gleichungssystem - welches auch im Lösungsteil der Aufgabe so aufgeführt ist - habe ich nun über die Newtonformel versucht, den ersten Näherungspunkt zu bestimmen, siehe Anhang. Da komme ich aber auf einen völlig anderen Wert als in der Lösungstabelle über eine TR-Funktion angegeben ist, Was mache ich da falsch? Und welches TR-Modell hat diese Funktion?
Danke für Antwort.

07.03.2023, 09:53

HAL 9000

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Dir ist klar, dass du hier ein zweidimensionales Newtonverfahren durchführen willst bzw. musst? Der Iterationsschritt lautet dort

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_n\\ y_n\end{pmatrix} - J_{\Phi}^{-1}\left(x_n,y_n\right)\cdot \Phi(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ mit Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray*} J_{\Phi} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \Phi_1}{\partial x} & \frac{\partial \Phi_1}{\partial y}\\ \frac{\partial \Phi_2}{\partial x} & \frac{\partial \Phi_2}{\partial y}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Es ist also die Inverse $\begin{eqnarray*} J_{\Phi}^{-1} \end{eqnarray*}$ dieser Jacobi-Matrix zu bestimmen. Das alles scheint dir noch nicht bewusst gewesen zu sein.

07.03.2023, 11:38

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist also die Inverse $\begin{eqnarray*} J_{\Phi}^{-1} \end{eqnarray*}$ dieser Jacobi-Matrix zu bestimmen. Das alles scheint dir noch nicht bewusst gewesen zu sein.

Hallo Danke, nein, war mir nicht bewusst. Stimmt der Ansatz jetzt (Anhang)?
Danke

07.03.2023, 12:29

HAL 9000

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Die inverse Matrix stimmt sicher nicht - da scheinst du den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\det\left(J_{\Phi}\right)} \end{eqnarray*}$ unterschlagen zu haben...

07.03.2023, 13:32

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000 Die inverse Matrix stimmt sicher nicht - da scheinst du den Vorfaktor .... scheinst du vergessen zu haben
.

Danke, ja, so ist es. Damit komme ich jetzt wenigstens in den Bereich der 1. Näherung der Lösung, Differenz hängt wohl mit Rundungen und Eingabefehlern in einen TR zusammen.
Werde das jetzt aber nicht weiterverfolgen, denn das ist ja eine blöde Rumrechnerei im Zeitalter von Computern. Danke für deine Hilfe.

07.03.2023, 13:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Werde das jetzt aber nicht weiterverfolgen, denn das ist ja eine blöde Rumrechnerei im Zeitalter von Computern.

Genau deswegen implementiert man die Formel, und überlässt dann die blöde Rumrechnerei dieser Implementation. Augenzwinkern

Ich komme übrigens abweichend davon auf dieselben Werte wie in deinem Scan im Eröffnungsbeitrag, d.h. mit $\begin{eqnarray*} \left(x_0,y_0\right) = \left(1,\frac{5}{2}\right) \end{eqnarray*}$ im ersten Schritt dann $\begin{eqnarray*} \left(x_1,y_1\right) = \left(\frac{67}{64},\frac{29}{12}\right)\approx (1.046875,2.416667) \end{eqnarray*}$ usw.

Die exakte Nullstelle (und Grenzwert dieser Newton-Iteration) ist übrigens $\begin{eqnarray*} (x,y) = \left(\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}-3},\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}-3}\right) \end{eqnarray*}$ .

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