Kreuzprodukt

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt
Hallo Leute Wink ,
nach langer Krankheitspause will ich nun Verpasstes aufholen wär schön wenn ihr mich dabei unterstützen könntet smile

Also hier erstmal die Aufgabe und meine Lösung dazu gleich.
Wär schön wenn ihr mal drüber schauen könntet.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreuzprodukt
Hier meine Lösung der ersten Teilaufgabe
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreuzprodukt
Die Aufgabe trifft streng genommen schon mehr den Hochschulbereich, aber wenn schon Schule, dann nicht Analysis, sondern Geometrie und sollte nach Ermessen verschoben werden.
Wenn alle Definitionen (Skalarprodukt) vorher eingeführt wurden, läßt sich eigentlich durch Anwenden und Vergleichen alles erledigen. Bisher sehe ich keinen Fehler.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung:

Die Aufgabe betrifft eigentlich die Umkehrung der Definition des Kreuzproduktes zweier Vektoren in einem orthogonalen R3 Rechtssytem.
Demnach hat das Kreuzprodukt laut dieser (geometrischen) Definition folgende drei Eigenschaften:

- Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a, b ist ein Vektor, welcher orthogonal (senkrecht) auf die beiden gegebenen Vektoren a, b steht.

- Der Betrag (die Länge) des Kreuzproduktes ist (zahlenmäßig) gleich der Fläche des von den beiden Vektoren a, b aufgespannten Parallelogrammes.

- Die Richtung des Kreuzprodukt-Vektors a x b geht aus den beiden gegebenen Vektoren a, b ebenso hervor, wie die z-Achse aus der x- und y-Achse des Koordinatensystemes.

Das bedeutet, die Vektoren a, b und a x b bilden ein System, für das die Rechts-Schraubregel ("Korkenzieher-Regel") besteht:
Dreht man in der Ebene von a, b den Vektor a im positiven Drehsinn in den Vektor b, so zeigt a x b in die Richtung, die der Korkenzieher bei der Drehung einschlägt.
Das ist ebenso bei der x, y und z - Achse des Koordinatensystems der Fall.

mY+
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Danke smile
Teil ii) Muss ich glaube ich nochmal überarbeiten, aber letztlich dürfte es auch nur Einsetzen sein...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
Auch zu dieser Formel gibt es einen gut zu erkennenden Hintergrund.
Das Kreuzprodukt ist der Wert einer dreireihigen Determinante, die aus den beiden gegebenen (Spalten-)Vektoren und der Spalte der drei Einheitsvektoren des Koordinatensystems gebildet wird:



Die Determinante wird dann nach den Elementen der dritten Spalte entwickelt!
Wegen der Darstellung mittels der Einheitsvektoren ist das Ergebnis wiederum ein Vektor.
---------
Die eingeklammerten Terme in deiner Formel sind nichts anderes, als die Werte der zweireihigen Unterdeterminanten.

mY+
 
 
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ich habs jetzt glaube ich raus.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Um den Beweis einfacher zu gestalten, verwende die ganz allgemein geltenden Beziehungen




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Das gilt für beliebige Vektoren.
Die Gram'sche Determinante ist damit







mY+
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