Beweise von mathematischen Aussagen |
| 10.03.2023, 23:26 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Beweise von mathematischen Aussagen Gödel stellte fest: "Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in allen hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen unbeweisbare Aussagen gibt." Eine Frage vorweg, ist unbeweisbar mit unentscheidbar gleichzusetzen? Wenn ja, wieso ist in der Mathematik ein Beweis durch Widerspruch anerkannt? Nehme ich etwas an und führe dies zum Widerspruch, ist lediglich entschieden, dass die Annahme falsch war, aber nicht dessen Gegenteil wahr sein muss. Wenn es nämlich unentscheidbare Aussagen gibt, könnte eben noch genau dieser Fall der Unentscheidbarkeit vorliegen. Die Annahme von etwas führt eben auch dann zum Widerspruch, wenn eine unentscheidbare Aussagen als wahr angenommen wurde. Müsste ich nicht noch die Gegenannahme beweisen oder auch widerlegen, um entweder die Richtigkeit der Gegenannahme festzustellen, oder bei ebenfalls hergeleitetem Widerspruch der Gegenannahme dessen Unentscheidbarkeit zu folgern? Liegt mein Verständnisproblem darin, dass ich beweisbar mit Wahrheit oder Falschheit einer Aussage gleichsetze? Danke für die Aufklärung. Romaxx |
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| 11.03.2023, 13:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweisbarkeit ist ein syntaktischer Begriff. Eine Aussage kann in einem formalen System beweisbar oder unbeweisbar sein. Wahrheit ist ein semantischer Begriff. Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch (tertium non datur). Gödel hat bewiesen, dass jedes formale widerspruchsfreie System, das die elementare Zahlentheorie umfasst, wahre unbeweisbare Aussagen enthält. Damit ist eine Verbindung zwischen Syntax und Semantik in mathematischen Theorien gegeben, die auf formalen Systemen aufbauen. Ein Beweis durch Widerspruch zeigt, dass eine Aussage, die man Annahme nennt, falsch ist, weil sie zu einem Widerspruch führt. Eine mathematische widerspruchsfreie Theorie kann keine Aussage enthalten, die wahr ist und zu einem Widerspruch führt, weil eine solche Theorie nicht widerspruchsfrei ist. Jede widerspruchsvolle Theorie ist sinnlos, weil sie jede wahre und jede falsche Aussage beweist (ex falso quodlibet). |
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| 11.03.2023, 13:57 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Elvis, vielen Dank für Deine Erläuterungen.
Das möchte ich genauer betrachten. Wenn die Annahme falsch ist, weil ein Widerspruch hergeleitet werden kann, ist sie dann falsch, weil ihr Gegenteil gilt oder weil ich sie fälschlicherweise als wahr angenommen habe, weil sie nicht beweisbar ist, ich also ihren Wahrheitsgehalt nie herleiten kann. Wenn letzteres möglich ist, ist ein Beweis durch Widerspruch nicht hinreichend für die Feststellung des Wahrheitsgehaltes. Dies wäre aber nur in einem formalen System mit nicht beweisbaren Aussagen so. P.s. deine allgemeinen Erläuterungen sagen mir, dass ich entweder etwas grundsätzlich nicht verstehe, oder du mein Verständnisproblem nicht richtig erfasst hast. Danke, Romaxx |
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| 11.03.2023, 18:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis durch Widerspruch gehört zur Mathematik mit üblicher Logik und benötigt kein formales System. Wir gehen von einer widerspruchsfreien mathematischen Theorie T, einer Logik L mit tertium non datur (jede Aussage ist entweder wahr oder falsch) und einer Annahme A aus. A impliziert eine falsche Aussage W, also ist A falsch. Wenn ich mir das so ansehe, kann ich sogar auf das tertium non datur verzichten. A impliziert eine falsche Aussage W, als ist A falsch. Übrigens heißt "formal nicht beweisbar" nicht "nicht beweisbar". Eine wahre nicht beweisbare Aussage muss man nur als Axiom zum formalen System hinzunehmen, schon ist sie bewiesen, also wahr und beweisbar. Nach Gödel ist dann im neuen System eine andere wahre Aussage nicht beweisbar. |
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| 11.03.2023, 19:42 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Elvis, danke für Deine Informationen. Ich denke, ich habe meinen Dreher nun verstanden. Angenommen, ich weiß durch ein All-Wissendes Orakel, eine Aussage A ist nicht beweisbar, aber wahr. Wenn ich nun versuche, Aussage A durch Widerspruch zu beweisen, indem ich annehme, A ist falsch und dies hypotetisch zum Widerspruch führe, war die Annahme, A ist nicht beweisbar, falsch. Dies wird aber nie eintreten, denn das Orakel sagte mir ja, dass A nicht beweisbar aber wahr ist. Daher wird ein Beweis durch Widerspruch nie gelingen, d.h. ich werde keinen Widerspruch ableiten können, egal wie sehr ich es versuche. Eine wahre und Nicht-Beweisbare Aussage A als Axiom zu setzen und damit seine Wahrheit anzunehmen, ist immer möglich. Ich glaube ich habe Annahme von einer Aussage als wahr oder falsch mit beweisbar gleichgesetzt. |
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| 11.03.2023, 19:57 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jede Injektion mit nichtleerem Definitionsbereich besitzt eine Linksinverse; eine den Studenten bereits im Grundstudium vermittelte Gesetzmäßigkeit. Im Beweis dieses Satzes benötigt man allerdings wahlweise den Beweis durch Widerspruch zuzüglich Beseitigung der Doppelnegation oder den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Hiermit wird einfach mal so eine Linksinverse "konstruiert". Sie enthält eine kleine Fallunterscheidung, die ist kurzerhand aufgeschrieben. Aber was bedeutet dies? Dazu hat sich jemand mal Folgendes überlegt. Es wird eine feste, aber beliebige Turingmaschine festgelegt. Man definiere nun als wenn die Maschine in genau Schritten hält, sonst Aus dieser Definition geht fast trivial hervor, dass injektiv ist. Zur Konstruktion der Linksinversen müsste man nun aber ermitteln, ob 0 im Bild von liegt. Man müsste also das Halteproblem lösen. (Edit: Großschreibung von Folgendes) |
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| 11.03.2023, 22:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Romaxx Orakel gibt es in der Wissenschaft nicht, speziell nicht in der Mathematik. Niemand weiß, welche Aussagen wahr und welche falsch sind. Formal beweisbare oder mathematisch beweisbare Aussagen sind wahr. Nicht beweisbare Aussagen sind fast immer falsch, manchmal sind sie wahr. Wie lange es dauert, eine beweisbare Aussage zu beweisen, weiß man nicht, bevor man einen Beweis geführt hat. |
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| 12.03.2023, 07:57 | G120323 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wann ist etwas hinreichend stark? Kriterien?
Hast du dafür Beispiele?
Was soll das möglich sein? Beispiele? |
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| 12.03.2023, 10:19 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo G120323,
Ob es hier Kriterien über verschiedene formale Systems gibt, weiß ich nicht.
Da unbeweisbare, wahre Aussagen nicht beweisbar sind, ich ihren Wahrheitsgehalt also nicht ableiten kann, war für mich das Orakel ein hypothetisches Konstrukt, um zu Wissen, ob einer Aussage A nicht beweisbar und wahr ist. Mir war wichtig, zu verstehen, was passiert, wenn ich per Widerspruch eine solche Aussage beweisen möchte. Dies ist aber nicht möglich. Ich hatte zu Anfang gedacht, das ein abgeleiteter Widerspruch auch bedeuten kann, dass die gegenteilige Aussage nicht zwangsweise wahr sein muss, sondern der Widerspruch auch bedeuten kann, dass man eine unbeweisbare Aussage mit einem Wahrheitsgehalt festgelegt hat und dies falsch war. Davon bin ich aber abgekommen, habe mich von Elvis überzeugen lassen.. Grüße, Romaxx |
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| 12.03.2023, 10:29 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Finn_, mir ist noch nicht klar, was du mir, wenn das an mich war, sagen willst. Werde mich bei Gelegenheit noch einmal mit deinem Beitrag befassen. Grüße, Romaxx |
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| 12.03.2023, 10:35 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Elvis, du willst mir also sagen, dass die Annahme einen All-Wissenden Orakels falsch ist und daher logisch alles folgen kann? Mir war wichtig, zu verstehen, was passiert, wenn ich per Widerspruch eine solche Aussage beweisen möchte. Grüße, Romaxx |
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| 12.03.2023, 16:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein allwissendes Orakel gibt es nicht, wenn es eines gäbe, das uns stets korrekt antworten würde, hätten wir mehr Antworten auf unsere Fragen aber keine Beweise und damit auch keinen Spaß mehr an Mathematik, und wir wüssten nicht, ob es immer korrekt antworten würde. (Unsere nach eigener Aussage allwissenden Götter haben uns oft genug belogen, sind also nicht allwissend oder sagen uns nicht immer die Wahrheit.) Glaube nicht alles, was deine Professorinnen sagen, glaube nur, was du weißt, also nur das, was du auf der Grundlage allgemeinen Wissens beweisen kannst. Eine wahre Aussage impliziert niemals einen Widerspruch, kann also niemals durch einen Widerspruchsbeweis widerlegt werden. Eine falsche Aussage kann a) direkt widerlegt werden durch einen Beweis ihrer Negation oder b) durch einen Widerspruchsbeweis. Solange man keinen Beweis hat, weiß man nicht, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Wenn eine wahre Aussage eines Tages einen Widerspruch implizieren wird, werden wir wissen, dass diese Mathematik nicht widerspruchsfrei ist. Dann werden wir die Mathematik so verändern, dass sie wieder widerspruchsfrei sein kann - genau so haben wir es die letzten 5000 Jahre immer wieder gemacht. |
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| 12.03.2023, 16:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@G120323 Alle deine Fragen hat Kurt Gödel um 1930 beantwortet. Wenn du ihn verstehen möchtest, studiere seinen Beweis bei Dirk W.Hoffmann - eine bessere Darstellung in moderner Sprache ist mir nicht bekannt. |
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| 12.03.2023, 16:55 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Problematik ist in dem (sehr lesenswerten) Buch "Gödel, Escher, Bach" von Douglas Hofstadter recht anschaulich dargestellt. |
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| 12.03.2023, 17:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja sicher, "GEB, ein Endloses Geflochtenes Band" ist schöngeistige Literatur. "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze" sind grundlegende Mathematik. Soweit ich weiß ist das Matheboard eher mathematisch als literarisch orientiert, und den meisten Menschen schadet es nicht, mehr als ein Buch zu lesen. |
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| 12.03.2023, 19:12 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Elvis, ich will dich nicht kritisieren, aber hier widersprichst du dir. Vielleicht willst du sagen, dass es jederzeit passieren kann, dass Aussagen, die vermeintlich als wahr galten, doch falsch sind. Bitte beantworte diese Fragen/Aussagen mit ja oder nein (trifft diese zu oder nicht):
Eine weitere Frage, die du nicht mit ja oder nein beantworten musst: Wie stellt Gödel fest, dass ein hinreichendes formales System nicht-beweisbare Aussagen hat. Ich habe gelesen, dass er eine solche Aussage konstruiert hat. Wie aber überprüft man, ob eine Aussage nicht-beweisbar ist? Grüße, Romaxx |
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| 12.03.2023, 19:34 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo laila49, ich kenne das Buch, habe es aber bisher immer nur überflogen 
.Grüße, Romaxx |
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| 12.03.2023, 20:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich widerspreche mir nur scheinbar aber nicht wirklich. WENN die Mathematik widerspruchsfrei ist, DANN impliziert keine wahre Aussage einen Widerspruch. Äquivalent dazu ist: WENN eine wahre Aussage einen Widerspruch impliziert, DANN ist die Mathematik nicht widerspruchsfrei. Es gibt Widerspruchsfreiheitsbeweise für mathematische Theorien, aber es gibt keinen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die gesamte Mathematik und auch nicht für die derzeit existerende Mathematik. Sie kann also auch "nicht widerspruchsfrei" sein, zur Zeit ist nur kein Widerspruch bekannt. 1. JA, falls die Mathematik widerspruchsfrei ist. 2. JA. Um Gödel zu verstehen, musst du seinen Beweis verstehen. Das ist schwierig, weil der Beweis eine 100 Jahre alte Sprache benutzt, die heute kaum noch zu verstehen ist. Hoffmanns Buch analysiert und erklärt den ganzen Beweis in allen Einzelheiten, ist leicht lesbar und ist sehr empfehlenswert. |
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| 13.03.2023, 17:28 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich würde raten, das Buch im englischen Original zu lesen. Ich besitze das Buch in der deutschen Übersetzung, die speziell in dem Teil, der sich mit dem Unvollständigkeitssatz befasst, nicht immer gelungen ist. Liebe Grüße laila49 |
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| 13.03.2023, 18:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gödels Beweis umfasst nur 40 Seiten, Hoffmanns Buch ca. 370 Seiten (incl. Gödels Beweis), und man erfährt darin die ganze Wahrheit über die Unvollständigkeitssätze. Einfacher geht's nicht, und fast alle Autoren schreiben Unsinn über Gödel. Dass Hofstadter Gödel wirklich verstanden hat, bezweifle ich, obwohl er intelligent ist und sehr lesenswert schreibt. Vor ca. 40 oder mehr Jahren habe ich Hofstadter gelesen und glaube zu erinnern, dass er wie manche andere Autoren, die Gödel interpretieren, eine Randbemerkung Gödels überschätzt hat, in der dieser an das Lügnerparadoxon erinnert. Hofstadter benutzt auch immer wieder selbstbezuegliche Strukturen, aber auch das ist im Zusammenhang mit den Unvollständigkeitssaetzen falsch. |
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| 15.03.2023, 01:04 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt die Menge M aller wahren Aussagen. Alle Elemente von M können wir als Axiome nehmen. Damit widerlegen wir Gödel, denn es gäbe dann eine Theorie, in der es keine unbeweisbaren (wahren) Aussagen gäbe und widerspruchsfrei wäre sie auch. Gödels Sätze beziehen sich aber nur auf endliche formale Systeme mit mind. zahlenarithmetischer Ausdrucksstärke. Das scheint mir manchmal unterschlagen zu werden. |
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| 15.03.2023, 09:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie beweist du, dass M eine Menge ist? Speziell : Wie definierst du die Begriffe "Aussage" und "wahr". Wie beweist du die Widerspruchsfreiheit von M? Gödel widerlegen ist völlig unmöglich, weil er seine Sätze bewiesen hat. |
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| 15.03.2023, 18:29 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweise können falsch sein. Dann nennt man sie Scheinbeweise. Da reicht eine kleine formale Unachtsamkeit oder ein banaler Rechenfehler. Und theoretisch können das tausende Matheköpfe übersehen, gerade wenn sich als Vorurteil festgesetzt hat, dass der Beweis richtig ist. Zum Thema: Ich denke nicht, es scheitert an deinen Punkten. Wieso sollten wir nicht alle wahren Aussagen x zusammenfassen können? Wo soll da ein Widerspruch sein können? Gödel beweist seine Unvollständigkeitssätze aber eben nur für endliche formale Systeme, also mit endlich vielen Axiomen, während meine Idee ein unendlich großes formales System enthielte (denn alle wahren Aussagen zusammen wären garantiert mind. unendlich, wenn nicht sogar überabzählbar unendlich), was gar nicht im Bereich von Gödels Untersuchungsgegenstand lag. So erkläre ich mir es. Es wird halt häufig vergessen, zu sagen: jedes finite formale System blabla ist unvollständig oder widersprüchlich. Das ist eine kleine aber feine Einschränkung der Gödelsätze. |
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| 15.03.2023, 20:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei Gödels Unvollständigkeitssätzen wird nichts vergessen. Er hat sie bewiesen. Damit ist das Problem vollständig gelöst. Du redest um den heißen Brei herum. Das ist kein Beweis, nicht einmal ein Ansatz dazu. Ein Beweis braucht immer Definitionen und logische Folgerungen. Die hast du nicht, also hast du nichts außer fadenscheinigen Behauptungen. Bekanntlich ist die Klasse aller Objekte einer bestimmten Kategorie keine Menge sondern eine echte Klasse. Das gilt z.B. für die Klasse aller Gruppen. Kann dann die Klasse aller wahren Aussagen "Gruppe _x ist eine Gruppe" wobei x die Indexklasse der Klasse aller Gruppen durchlaufen soll, eine Menge sein? Das kann ich nicht glauben. Also verlassen wir schon bei relativ wenigen Aussagen den Bereich, in dem wir von Mengen reden können. (Hätte ich jetzt statt Gruppen Mengen als Objekte gewählt, wären wir über die Allmenge gestolpert, die es nicht gibt.) |
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| 15.03.2023, 22:50 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nimm alle wahren Aussagen als Axiome in einem korrekten Kalkül K an. Dann kann es trivial nicht mehr passieren, dass du eine wahre Aussage nicht beweisen kannst. Der Gödelsatz wäre - in all seinen Varianten - immer bereits als ein Axiom vorhanden. Gödel ist widerlegt, freilich hatte Gödel dieses Szenario gar nicht im Blick. Seine Beweise gelten nur für finite Kalküle. Trotzdem wäre es interessant zu erfahren, ob es eine Menge aller wahren Aussagen geben kann. Für mich ist das keine Frage. Man definiert Aussagen - das geht rekursiv, angefangen mit nullstelligen Prädikatsaussagen und dann immer weiter und für immer höhere Logiken, alles rekursiv machbar. Damit bekommt man die Menge aller möglichen Aussagen. Laut Bivalenz sind die wahr oder falsch. Man bildet nun die Teilmenge aus den wahren. Fertig. Vllt. können sich Finn oder 42 mal äußern, ob ich da was übersehe. |
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| 16.03.2023, 05:45 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich sind Theorien von Strukturen (alle in der gegebenen Struktur wahren Sätze) vollständig. Aber die Theorie von ist nichtmal rekursiv aufzählbar. |
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| 16.03.2023, 08:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es stimmt natürlich nicht, dass die Unvollständigkeitssaetze nur für endliche formale Systeme gelten. Nehmen wir zu einem Standardsystem der Zahlentheorie noch die Kommutativaxiome n+m=m+n für alle natürlichen n und m dazu, so ändert sich nichts an der Unvollständigkeit. 2+3=3+2,122+5874=5874+122,... Alle simplen Gleichungen und Ungleichungen, die man in der Grundschule gelernt haben sollte, ändern nichts daran. Wenn man alle Sätze (bewiesene Aussagen) zu Axiomen macht oder sogar alle beweisbaren Aussagen, bleibt die Zahlentheorie unvollständig. Der Witz der Unvollständigkeitssaetze besteht ja genau darin, dass es wahre Aussagen gibt, die nicht beweisbar sind. "Alle wahren Aussagen" als Axiome "zu nehmen" dürfte schwierig sein, denn man kennt sie nicht und hat sie nicht und kann sie nicht alle von falschen Aussagen unterscheiden. |
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| 17.03.2023, 02:36 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man es aber könnte, dann wäre Gödel hinfällig! Richtig? Ich sehe jedenfalls nicht, warum es eine Menge aller wahren Aussagen nicht geben können soll. Man fängt mit der Menge aller AL-wahren Aussagen p an, dazu vereinigt man die Menge aller PL1-wahren Aussagen Px usw. usf., der Rest dann über Rekursion bis PL_n-wahre Aussagen. Die Gödelsätze wären immer ALLE in dieser Menge drin, nur eben immer eine oder mehrere logische Ebenen über dem, wovon sie sprechen. Kurzum: Gödel gilt NICHT für so einen Kalkül. @42 Es geht hier nicht um rekursive Aufzählbarkeit. Es geht darum, dass die Theorie von IN alle wahren Aussagen zu IN enthält. Oder anders gesagt: es gibt eine Menge alle wahren Aussagen zu natürlichen Zahlen. Richtig? Wenn es gelänge, jede einzelne Aussage dieser Theorie/Menge als Axiom aufzustellen, dann wäre dieser Kalkül vollständig UND widerspruchslos. Gödel‘s Fluch wäre besiegt. |
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| 17.03.2023, 07:09 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1) Die Menge der in hinreichend starken Theorien wie PA, ZFC,... ableitbaren Aussagen bilden ja gerade keine vollständigen Theorien. Die Sätze CH und ~CH sind beide nicht im deduktiven Abschluss(= Menge der abelitbaren Aussagen) von ZFC enthalten. Es macht keinen Sinn von "wahren Aussagen" im luftleeren Raum zu sprechen. Ein Satz kann ableitbar sein oder er kann in einem Modell erfüllt sein. Ein Satz, der in einem Modell gilt muss nicht in allen Modellen gelten. 2) Die Theorie jeder Struktur (=Menge der in der gegebenen Struktur wahren Aussagen) ist per Definition vollständig (zumindest bei Annahme von LEM in der Metatheorie). Wenn ZFC konsistent ist, dann können wir dies als Metatheorie benutzen und die natürlichen Zahlen existieren als Standardmodell der Peano-Arithmetik. Somit hat PA ein Modell und ist daher konsistent, aber nicht vollständig. Die Theorie der Struktur ist hingegen vollständig, so wie die Theorie jeder Struktur. Sie ist auch konsistent, denn sie hat ja ein Modell, nämlich . Aber sie ist nicht rekursiv aufzählbar, daher erfüllt sie die Voraussetzung des ersten Vollständigkeitssatzes nicht. Praktischer gesagt: Es gibt keinen Algorithmus, der jede beliebige in der Struktur wahren Aussage als solche erkennen könnte. |
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| 17.03.2023, 09:10 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
…und wenn wir alle diese wahren Aussagen der Struktur als Axiome annehmen, dann wäre das Modell dieser Theorie vollständig UND konsistent, d.h. Modell = Theorie. Gödels Sätze würden in so einem Fall nicht mehr gelten, aber sie gelten eben ohnehin nur für besondere Formen von formalen Systemen, nämlich wie du sagst die rekursiv aufzählbaren. Das meinte ich. Gödel‘s Sätze gelten nicht für alle formalen Systeme arithmetischer Ausdrucksstärke, wie man das häufig verkürzt liest. |
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| 17.03.2023, 10:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das passt nicht zusammen. Was für wahre Aussagen meinst du, wenn du von "diese[n] wahren Aussagen" sprichst ? Wie definierst du "nehmen" wenn nicht durch eine Auswahlfunktion? Da "alle wahren Aussagen" keine Menge sind, gibt es auch keine Auswahlfunktion. So wie es den Laplaceschen Dämon nicht geben kann, der alle Orte und Geschwindigkeiten aller Teilchen des Universums kennt, weil die materielle Welt der Quantentheorie genügt, so kann es den allwissenden Dämon nicht geben, weil die geistige Welt nicht so simpel ist, wie du es gerne hättest.
Das ist sinnlos. |
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| 17.03.2023, 11:07 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Woran soll das scheitern? Aber bleiben wir bei 42‘s Struktur, weil es da einfacher ist. Wir haben eine Struktur IN. In der gibt es die Menge aller wahren Aussagen zu IN. So sagt selbst 42. Dann kann ich aber diese Menge hernehmen, jede einzelne Aussage daraus als Axiom setzen und schon hätte ich trivial einen Kalkül, in dem Wahrheit <-> Beweisbarkeit, also einen vollständigen, korrekten und konsistenten. Oder wo sähest du da ein Problem, abgesehen davon, dass es praktisch nicht machbar scheint?
Logisch kann es den Dämon sehr wohl geben, nur physikalisch nicht. |
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| 17.03.2023, 15:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Als der allwissende Klugscheißer vor 13,787 Milliarden Jahren zu existieren begann, hat er sofort gewusst, dass er wegen der Quantentheorien und der Gödelschen Unvollständigkeitssaetze nicht alles wissen und beweisen kann, und vor Wut ist er nach Sekunden im Urknall zerplatzt. 
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| 17.03.2023, 16:23 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
, hoffe ich ende nicht auch in einem Urknall, wenn es dann soweit ist, dass ich Gödel verstanden habe. |
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| 18.03.2023, 04:59 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
JAAA! Dieser Prof hat es erkannt, genau was ich meine! Alle Wahrheiten der Struktur als Axiome und Gödel hätte fertig, leider eben meinte Gödel gerade die andere Frage, ob wir ein System haben können, was uns diese Wahrheiten gibt. Aber WENN aus irgendeinem Grunde wir irgendwann alle Wahrheiten der nat. Zahlen kennen würden, dann gäbe es keine unentscheidbaren Sätze mehr, die bisher unentscheidbaren Gödelsätze wären entscheidbar (sie sind ja wahr)! https://www.youtube.com/watch?v=hxP0AYPu...p3UXc7&index=24 Von der Stelle etwa 4-5min. ansehen, mein Ding kommt genau 58:15. |
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| 18.03.2023, 09:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau an dem WENN hapert dieser Ansatz. Der Prof sagt auch " (3) There SHOULD be an algorithm...", und den gibt es nicht. Er macht sich nur lustig über Leute wie dich, die noch an die Möglichkeit der Allwissenheit glauben, und du merkst es nicht einmal. 
Nachtrag: Wenn du genauer hinhörst, dann kannst du auch hören, wie er (58:50) sagt "we want to avoid to check what's wrong with that". |
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| 18.03.2023, 10:19 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht könnt ihr euch darauf einigen, dass die Aussage: "es gibt ein All-Wissendes Orakel", selbst eine nicht-beweisbare Aussage ist. Ob sie wahr ist oder falsch, will ich mir nicht Anmaßen. Edit: Korrektur nicht-beweisbar |
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| 18.03.2023, 10:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Frage ist eher, ob es ein allwissendes und allmächtiges Orakel geben kann. Das könnte dann auch eine Turingmaschine bauen, die das Halteproblem für Turingmaschinen lösen kann. Ein allwissendes Orakel würde zumindest wissen, wie man eine solche Maschine bauen kann. 
Da es eine solche Maschine nicht geben kann, gibt es kein allwissendes Orakel. qed |
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| 14.04.2023, 23:14 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ingo Blechschmidt über Superturingmaschinen (1/2). YouTube-Kanal Curry Club Augsburg, 7. Oktober 2016. Interessanter Vortrag. Zeigt den Bezug von Superturingmaschinen zu den Ordinalzahlen und zur arithmetischen Hierarchie auf. |
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