Lineare Abbildungen

11.03.2023, 08:14

MMchen60

Lineare Abbildungen

Liebe Forumsgemeinde, ich beschäftige mich gerade mit linearen Abbildungen, bin dabei blutjunger Anfänger und bräuchte einmal ein paar Tipps für die Vorgehensweise der Aufgabe im Anhang.
Vielen Dank für Antwort.

11.03.2023, 08:25

MMchen60

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Bezüglich des Kerns der Matrix habe ich bereits folgendes eruiert. Stimmt das?
VG MMchen

11.03.2023, 13:18

Elvis

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Im Raum der Polynome a+bx+cx² gibt es kein y. Die Abbildungsmatrix enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren, also wird 1 auf 0, x auf 2-4x und x² auf -2+4x abgebildet.

a) Der Gauß-Algorithmus zeigt (nach einem Schritt), dass alle Polynome mit b=c auf 0 abgebildet werden, also ist der Kern die menge der Polynome a+bx+bx².
b) Benutze den Dimensionssatz.
c) Benutze deine Phantasie, probiere und greife für eine Begründung auf die Definition von "linear unabhängig" zurück.

13.03.2023, 14:15

MMchen60

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Zitat:

Original von Elvis
Die Abbildungsmatrix enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren, also wird 1 auf 0, x auf 2-4x und x² auf -2+4x abgebildet.

Hallo danke für die Antwort. Aber, woran erkennt man das?

Zitat:

Original von Elvis
a) Der Gauß-Algorithmus zeigt (nach einem Schritt), dass alle Polynome mit b=c auf 0 abgebildet werden, also ist der Kern die Menge der Polynome a+bx+bx².

Ist mit Gauß-Algorithmus die Matrixumformung in die obere Dreiecksmatrix gemeint? Und wie lese ich daruas b und c ab?

Zitat:

Original von Elvis
b) Benutze den Dimensionssatz.

Wo kann ich das nachlesen?

Zitat:

Original von Elvis
c) Benutze deine Phantasie, probiere und greife für eine Begründung auf die Definition von "linear unabhängig" zurück.

In welcher Matrix?
VG MM

13.03.2023, 18:35

Elvis

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"Die Abbildungsmatrix enthält in den Spalten die Bilder der Basisvektoren." Das ist das Grundprinzip von Abbildungsmatrizen. Man muss es kennen, weil es immer wieder verwendet werden kann.

Matrizen enthalten in den Zeilen Koeffizientengleichungen. Im diesem Beispiel, wo der Kern gesucht wird, ist die rechte Seite der Nullvektor. Damit sieht der Gauß-Algorithmus so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 & | & 0\\ 0 & -4 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ 1. Zeile durch 2 dividieren und 4 mal zur 2. Zeile addieren $\begin{eqnarray*} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Als Gleichungssystem heißt das $\begin{eqnarray*} 0\cdot a+1\cdot b-1\cdot c=0 \end{eqnarray*}$ , woraus durch Addition von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} b=c \end{eqnarray*}$ folgt.

Der Dimensionssatz oder Rangsatz (https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz) für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ ist eine wichtige Aussage über Dimensionen: $\begin{eqnarray*} dim V=dim (Kern(f))+dim(Bild(f)) \end{eqnarray*}$
Damit hat man in diesem Beispiel schon mal $\begin{eqnarray*} dim(Kern)=2, dim(Bild)=1 \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist Probieren mit kleinen Polynomen.

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