Abbildung ist Kontraktion

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Abbildung ist Kontraktion
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Folgerung in einem Beweis. Es geht um Fixpunkte bzw. Fixpunktiteration und den Banachschen Fixpunktsatz und eine Anwendung vom Mittelwertsatz in der Nähe eines Fixpunktes .

Also wir haben eine Abbildung und einen Fixpunkt . Außerdem ist die Abbildung stetig differenzierbar und die Ableitung ist . Dann soll es eine Umgebung U geben, in der die Abbildung eine Kontraktion und eine Selbstabildung ist.

Im Beweis wird dann gesetzt und das h so gewählt, dass die Ableitung auf U überall kleiner als 1 ist. Das geht ja, weil die Ableitung stetig ist. Dann wird für ein der Mittelwertsatz angewendet mit . Das kann ich auch noch verstehen, weil ja ist und wenn man jetzt die Ungleichung umformt, steht da ja . Aber dann wird jetzt gesagt, dass ist und das verstehe ich. Ich habe versucht die Dreiecksungleichung zu verwenden und bin dann auf gekommen, aber wirklich weiter hat mich das nicht gebracht.
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RE: Abbildung ist Kontraktion

Mehr steckt nicht dahinter
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Oh man, das hab ich davor doch selber noch angewendet und hier einfach nicht gesehen. Da war ich wohl einfach blind.
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