Helikopter

17.03.2023, 16:32

Annasüß

Helikopter

Ein Helikopter fliegt bei schlechter Sicht auf ein eben ansteigendes Bergmassiv zu, welches durch die Punkte $\begin{align*} P(0|5|0) \end{align*}$ , $\begin{align*} Q(5|10|2) \end{align*}$ , $\begin{align*} R(10|10|2) \end{align*}$ beschrieben wird.
Der Helikopter durchfliegt die Punkte $\begin{align*} A(1|6|1) \end{align*}$ und $\begin{align*} B(2|7|1) \end{align*}$ (Angaben in km).

a) Erstellen Sie eine Ebenengleichung des Berghangs.
b) Bestimmen Sie den Abstand des Helikopters in A bzw. B zur Bergebene.
c) 100 m ist der erlaubte Mindestabstand. In welchem Punkt muss der Pilot spätestens auf Steigflug umstellen, um den Hang im Parallelflug zu überwinden ? Wie lautet der neue Kurs?

Ideen:

a)

Ebenengleichung: $\begin{align*} E:\overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)+r \left(\begin{array}{c}5 \\5 \\2 \end{array} \right)+s \left(\begin{array}{c}10 \\5 \\2 \end{array} \right) \end{align*}$

b) Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter, weil die Ebene schräg steht, ich könnte sogesehen nachprüfen, wo die Flugbahn die Ebene schneidet, aber hier ja der kürzeste Abstand gesucht.

Danke für eure Hilfe

17.03.2023, 17:22

mYthos

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b)
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist dessen Normalabstand.
Dazu kannst du zunächst die Hesse'sche Normalform der Ebene bestimmen.

Ist dir diese bekannt?

Anmerkung:
Falls der lotrechte Abstand zu der (schiefen) Ebene gemeint ist*, ist in den Punkten A und B jeweils die zur x-y - Ebene senkrechte Gerade zu bestimmen (Richtungsvektor = (0, 0, 1)) und diese mit der Ebene zu schneiden.

(*) Das wäre zu präzisieren!

mY+

17.03.2023, 17:35

Annasüß

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Die Hesse'che Normalform sagt mir leider nichts. Hab leider keine weiteren Angaben zu der Aufgabe.

Gibt es auch einen Alternativweg? verwirrt

17.03.2023, 18:34

mYthos

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Wenn du dir die Punkte A und B der Flugbahn ansiehst, bemerkst du, dass sich der Heli in einer horzontalen Ebene im Abstand 1 (km) zum Boden bewegt.

Der Richtungsvektor der Flugbahn ist (1, 1, 0). Bestimme zunächst deren Gleichung.

Nun, der Mindestabstand ist NICHT zu bestimmen, er ist ja schon mit 100m = 0.1 km gegeben. Diesen darf das Flugzeug nicht unterschreiten.
Den Abstand könnte man zwar in verschiedenen Richtungen messen, lotrecht oder auch waagrecht.
Geometrisch richtig ist jedoch - wie schon bemerkt - der Normalabstand, also jener, welcher senkrecht zu der Ebene des Berghanges verläuft.

Es ist daher auf der Flugbahn jener Punkt zu suchen, dessen (Normal-)Abstand von der Ebene gerade 0.1 km beträgt.
Da es dazu zwei Möglichkeiten gibt, muss sich dieser Punkt in Flugrichtung VOR dem Berghang befinden.

Hat der Heli diesen Punkte rreicht, muss er von da an seinen Kurs auf einer Flugbahn parallel zu der Hangebene fortsetzen.
Der Richtungsvektor dieser Bahn wird nun senkrecht zu dem Normalvektor der Ebene verlaufen, wobei die Projektion der Richtung in die x-y - Ebene beizubehalten und nur die neue z-Komponente zu ermitteln ist.
Denn es gibt eine zweiparametrige Vielfalt für Vektoren, die parallel zur Hangebene und damit auch enkrecht zur deren Normalvektor sind.

Ist das soweit verständlich?

Hinweis: Für den Normalabstand d eines Punktes P von einer Ebene verwende die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\vec n \cdot \vec P - c}{|\vec n|}; \quad \vec n .. \text{ Normalvektor der Ebene}; \quad \vec P .. \text{ Ortsvektor zu P}; \quad c .. \text{ Konstante der Ebenengleichung in Normalform} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} d = \frac{\vec n}{|\vec n|} \cdot (\vec P - \vec A) \quad \text{ A .. ein Punkt der Ebene} \end{eqnarray*}$

mY+

17.03.2023, 23:15

Annasüß

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Ich konnte dir folgen!

Danke dir vielmals für deine Hilfe und für deine ausführliche Antwort.

Falls ich Rückfragen habe, melde ich mich nochmal.

Danke sehr. Wink

17.03.2023, 23:18

mYthos

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Super!

Wir können dann auch noch die Resultate vergleichen!
Eventuell mache ich noch eine Grafik davon.

Gr
mYthos

18.03.2023, 17:04

Annasüß

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Ich habe das mit der Normalform der Ebene gemacht.

Die Gerade für den Helikopter lautet: $\begin{eqnarray*} g:\overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}2 \\7 \\1 \end{array} \right)+r \left(\begin{array}{c}1 \\1 \\0 \end{array} \right)<br /> \end{eqnarray*}$

Somit könnte ich folgenden Ansatz wählen:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c}2+r \\2+r \\1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\-2 \\5 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{29}} = 0.1<br /> \end{eqnarray*}$ , daraus ergibt sich für $\begin{eqnarray*} r=0.23 \end{eqnarray*}$ .

Somit hab ich folgenden Punkt $\begin{eqnarray*} C(2,23|7,23|1) \end{eqnarray*}$ .

Wenn der Helikopter parallel über der Ebene fliegt, muss dieser dann senkrecht zum Normalvektor sein, also ist jener Vektor gesucht, wo das Skalarprodukt von [1,1,x] und [0,-2,5] gleich null ist. Beim Stützvektor war ich mir unsicher. Jetzt müsste ich ja den Stützvektor nehmen, wo es zum Kurswechsel kam also [2,23|7,23|1].

So ungefähr hab ich das versucht zu machen. smile

18.03.2023, 18:52

mYthos

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Zitat:

Original von Annasüß
...
Somit hab ich folgenden Punkt $\begin{eqnarray*} C(2,23|7,23|1) \end{eqnarray*}$ .
...
...
Jetzt müsste ich ja den Stützvektor nehmen, wo es zum Kurswechsel kam also [2,23|7,23|1].
...

Super, alles richtig! smile

Diese Resultate habe ich exakt ebenso. Die Formel, die du verwendest hast, IST ein Ergebnis der Hesse'schen Normalform.
--------
Beim Kurswechsel ist ja nur der neue Kurs gefragt. Der Anfangspunkt ist klarerweise der eben berechnete Punkt C.

Zitat:

Original von Annasüß
..... also ist jener Vektor gesucht, wo das Skalarprodukt von [1,1,x] und [0,-2,5] gleich null ist.
....

Auch dies stimmt vollkommen! Freude

Damit ergibt sich z = 2/5 und nach Verlängerung von (1, 1, 2/5) mit dem Faktor 5 ist der neue Kursvektor (5, 5, 2).

Alles gut gemacht! Und hier noch eine Grafik [klickmich!] dazu:

[attach]56934[/attach]

Grüße
mYthos

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