Analysis 3, Fubini, Niveaumengen

18.03.2023, 16:10	Name12341234	Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis 3, Fubini, Niveaumengen Meine Frage: Hallo, meine Frage wäre, wie man folgende Funktion über solches Integral berechnet: $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y)= \begin{cases} <br /> 1 \quad \text{ für } x \geq 0, x \leq y \ \leq x+1 \\<br /> -1 \quad \text{ für } x \geq 0, \ x+1 \leq y < x+2 \\<br /> 0 \quad \text{sonst}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Mit dem Integral: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \! f(x,y) \, dxdy = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \! f(x,y) \, dydx<br /> \end{eqnarray}$ berechnet. Ich habe mir eine Funktion überlegt, welche diesem entsprechen sollte (siehe Bild), aber bin mir bei dieser nicht sicher. Meine Frage ist nun, falls meine Funktion stimmen sollte: Wie integriere ich über dx, wenn meine charakteristischen Funktionen von y mit 1[x,x+1](y) und 1[x+1,x+2)(y) eben auch von x abhängen. Insgesamt verstehe ich das integrative Vorgehen hier nicht. Diese Aufgabe kam in einer Klausur dran, und ich schreibe am Montag eine Klausur, beim selben Professor, daher die Dringlichkeit eine hilfebringende Antwort zu bekommen. Viele Grüße hallo Meine Ideen: Siehe Bild
18.03.2023, 17:18	Name12341234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analyisis 3, Fubini, Niveaumengen Hallo, eine Ergänzung, und zwar sind die beiden Integrale eben nicht gleich, was Fubini in Teilen widerspricht, was zu zeigen ist, also jeweils dxdy $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ dydx gilt. Das wäre noch zu erwähnen. Bis hierher schon mal vielen Dank!
19.03.2023, 10:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analyisis 3, Fubini, Niveaumengen Da sind einige Sachen unsauber. Betrachten wir für festes $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ erst einmal: $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} f(x,y) dy dx \end{eqnarray}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} f(x,y) dy = \int_{\mathbb R} 1_{[x, x+1]} - 1_{[x+1, x+2)}dy = 1 - 1 = 0 \end{eqnarray}$ , und zwar nicht, weil der Schnitt der Intervalle leer ist. Die Intervalle können beliebig sein, solange sie die gleiche Länge besitzen. Trivalerweise ist dann $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} f(x,y) dy dx = \int_{\mathbb R}0 dx =0 \end{eqnarray}$ . Außerdem gehört eine Klammer um die Differenz, da sich der Faktor $\begin{eqnarray} 1_{(0,\infty)}(x) \end{eqnarray}$ auf beide Summanden bezieht. Korrekt wäre hier auch $\begin{eqnarray} [0,\infty) \end{eqnarray}$ . Auch bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht ganz klar, wie die Funktion definiert ist, weil sich bei $\begin{eqnarray} y=x+1 \end{eqnarray}$ die Werte von sowohl $\begin{eqnarray} +1 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ergeben. Beim Bild ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ festhalten und erst über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ integrieren das "vertikale" Integrieren bei dir im Bild. Für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kommt erst der Gründe bereich mit Wert $\begin{eqnarray} +1 \end{eqnarray}$ und dann Schwarz mit $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ . Die sind gleich lang also ergibt sich 0. Bei $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ festhalten und erst über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren ist das "ähnlich". Wenn wir $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$ betrachten, passiert das gleiche, bloss umgekehrt. Erst integrieren horizontalen, und wir gehen erst über einen schwarzen Bereich mit Wert $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und später einen mit gleicher Länge mit $\begin{eqnarray} +1 \end{eqnarray}$ . D.h. die werden sich wieder gegenseitig wegkürzen. Interessant ist aber $\begin{eqnarray} 0 \leq x <2 \end{eqnarray}$ . Man sieht hier, dass es mehr Grün als Schwarz gibt und damit das Integral positiv ist. Man kann schon aus der Zeichnung sehen, dass es der Wert $\begin{eqnarray} \frac 1 2 \end{eqnarray}$ ergibt. Rechnerisch kannst du erst einmal den Fall $\begin{eqnarray} 0 \leq y < 1 \end{eqnarray}$ betrachten. Dann ist $\begin{eqnarray} f(x,y) = 0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x > y+1 \geq 2 \end{eqnarray}$ , Wir haben dann $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} f(x,y) dx = \int_{0}^2 1_{[0,y]} dx= y \end{eqnarray}$ . Du kannst dir mal überlegen wie wir $\begin{eqnarray} 1 < y < 2 \end{eqnarray}$ bestimmen können.

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