Erwartungswert Würfel

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Marvin08 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Würfel
Meine Frage:
Man betrachte einen handelsüblichen Würfel und berechne folgende Werte:
a) Wie oft muss man durchschnittlich würfeln, bis alle geraden Augenzahlen mindestens einmal oben lagen?
b) Wie oft muss man durchschnittlich würfeln, bis an 3 aufeinanderfolgenden Würfe n eine Sequenz (z.B. 1,2,3 oder 3,4,5) auftaucht?
c) Wie oft muss man durchschnittlich würfeln, bis an 6 aufeinanderfolgenden Würfen die Sequenz 1,2,3,4,5,6 erscheint?


Meine Ideen:
Einfachere Erwartungswerte von Würfelexperimenten kann ich berechnen, aber bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aufgaben sind tatsächlich in der Schulmathematik gestellt worden? Oha.

a) Für feste Wurfanzahl betrachte folgende Ereignisse

... Augenzahl tritt unter den Augenzahlen nicht auf

Für die Zufallsgröße der notwendigen Anzahl Würfe, bis erstmalig jede der Augenzahlen 2,4,6 mindestens einmal aufgetreten ist, besteht dann der Zusammenhang



Erwartungswert ist dann


Die Aufgaben b)c) sind noch eine Portion härter: Interessant an beiden Aufgaben ist, dass die Antwort durchaus von den konkreten Sequenzen abhängen kann, die man da beobachten soll:

So ist z.B. die Antwortanzahl auf die Frage c) eine andere, wenn man statt auf 123456 auf eine andere Sequenz wie etwa 123123 wartet...
Marvin08 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Schule ist eine Spezialschule und daher wahrscheinlich etwas schwieriger als der Durchschnitt, trotzdem ist Mathematik nicht unbedingt meine Stärke, aber was nicht ist, kann ja noch werden.

Danke für die Hilfe bei Aufgabe a). Die Formel für konnte ich mir über ein Venn Diagramm herleiten, allerdings habe ich noch leichte Probleme bei der Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten. Betrachtet man erstmal nur: mit und . Ist das bis hierhin korrekt? Wie kann ich den letzten Summanden Ihrer Formel berechnen?

Noch eine Frage zu der unendlichen Summe. Müsste diese nicht bei 1 beginnen? Immerhin kann man ja schwer 0 mal würfeln.
Jetzt werde ich mich mal an den beiden anderen Teilaufgaben probieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: Wenn eine Augenzahl NICHT auftritt heißt das, dass in allen Würfen nur 5 der 6 Augenzahlen in Frage kommen. Es ist also schlicht .

Zitat:
Original von Marvin08
Meine Schule ist eine Spezialschule

War ich auch, ist aber schon ein Weilchen her. Big Laugh


Zitat:
Original von Marvin08
Noch eine Frage zu der unendlichen Summe. Müsste diese nicht bei 1 beginnen? Immerhin kann man ja schwer 0 mal würfeln.

Du hast die Formel komplett missverstanden: Das ist eine alternative Erwartungswert-Berechnungsformel, die nur für diskrete Zufallsgrößen anwendbar ist, die lediglich nichtnegative ganze Zahlen annehmen können. Der Gedankengang ist dabei der folgende:

Marvin08 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mit der Erläuterung für den Erwartungswert habe ich jetzt alles bis auf eines verstanden: Warum gilt überhaupt


Bei der letzten Aufgabe habe ich glaube ich die Lösung gefunden: E_N ist der Erwartungswert gerade nachdem man im letzten Wurf scheiterte "123456" zu würfeln. Die E_i sind die Erwartungswerte um von z.B. für i=3 "123" auf "123456" zu kommen. Dann ist E_6=0 und aus dem LGS:

folgt,

Nun ist mir aufgefallen, dass gilt . Das hat garantiert noch eine tiefere Bedeutung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist richtig. Dein ist wohl mit gleichzusetzen, d.h., die Anzahl zu erwartender Schritte, wenn noch kein Zeichen passt.


Ich bin etwas anders rangegangen: Ähnlich wie in a) betrachte ich mit die Wahrscheinlichkeit, dass in Würfen noch nicht 123456 aufgetaucht ist. Dann gilt sowie für die Rekursion

.

Wieder mit Erwartungswert folgt per Summation von (*) über alle

und damit .

Übrigens: Dieser Erwartungswert ist nicht für jede Sequenz der Länge Sechs gleich , er kann auch (bei bestimmten Ziffern- bzw. Ziffernsequenzwiederholungen innerhalb des Musters) länger sein - im Extremfall etwa für "111111" ist er .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Für b) habe ich mir eine Lösung überlegt, die dann doch so vorgeht, wie du es oben bei c) praktiziert hast. Während du bei c) mit den Zuständen

1,12,123,1234,12345,Rest

gearbeitet hast und für die jeweils den Erwartungswert der (Rest-)Schritte bestimmt hat, sind es bei b) die Zustände

1,2,3,4,5,6,12,23,34,45,

wobei man den Startzustand mit 5 oder 6 identifizieren kann. Kann man das vereinfachen, d.h., die Anzahl der Zustände reduzieren? Ich hab versucht, mehrere dieser Zustände zusammenzufassen, aber das ist dann regelmäßig an irgend einem Punkt gescheitert.

Falls ich mich nicht bei der Aufstellung der Ü-Matrix vertan habe, kommt mit dieser Methode heraus. Liegt zumindest einigermaßen im plausiblen Bereich, da die Kombinationen 123,234,345,456 den Anteil an allen Kombinationen aufweisen, im Mittel also aller Kombinationen eine davon auftaucht. Jetzt kann man sich noch überlegen, ob der Zähler auch hier wieder eine tiefere Bedeutung hat... Augenzwinkern


Zitat:
Original von Marvin08
Warum gilt überhaupt

kennzeichnet dass Ereignis, dass mindestens eine der drei Augenzahlen 2,4,6 nicht unter den ersten Würfen vertreten ist. Das ist aber gleichbedeutend damit, dass der Zeitpunkt , wo erstmalig diese drei Augenzahlen jeweils mindestens einmal vertreten waren, nach liegt - einfach nochmal in Ruhe drüber nachdenken, indem man sich geduldig Hin- und Rückrichtung dieser Äquivalenz klarmacht.
 
 
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