Funktionentheorie: R- und C-Linearität

23.03.2023, 19:11	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionentheorie: R- und C-Linearität Hallo zusammen ich sitze an folgender Aufgabe aus meiner Funktionentheorie vorlesung. Sei $\begin{eqnarray} L:\mathbb C \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ eine Abbildung. Ich soll folgendes zeigen: a) L ist genau dann $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Linear wenn es $\begin{eqnarray} \lambda , \mu \in \mathbb C \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} L(z)=\lambda z + \mu \overline{z} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ b) L ist genau dann $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ -Linear wenn es $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} L(z)=\lambda z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Also ich kenn die Vorraussetzungen für Linearität einer Abbildung f aus meiner Linearen Algebra Vorlesung: - f muss homogen sein - f muss additiv sein Wenn ich ein konkrete Abbildung habe kann ich das nachweisen, aber hier ist es ja allgemein. Kann mir wer da helfen? Liebe Grüße schonmal und danke :3
23.03.2023, 20:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreiben wir kanonisch $\begin{align} z = x + \operatorname{i}y \end{align}$ mit $\begin{align} x,y \in \mathbb{R} \end{align}$ , so können wir im Fall a), wenn wir die $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ -Linearität voraussetzen, folgendermaßen rechnen: $\begin{align} L(z) = x \cdot L(1) + y \cdot L(\operatorname{i}) = \frac{1}{2} \left( z + \bar{z} \right) \cdot L(1) + \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( z - \bar{z} \right) \cdot L(\operatorname{i}) \end{align}$ Jetzt sortiere den Term nach $\begin{align} z \end{align}$ und $\begin{align} \bar{z} \end{align}$ und lies die gesuchten $\begin{align} \lambda \end{align}$ und $\begin{align} \mu \end{align}$ ab. Und für die andere Beweisrichtung setze die Vorschrift $\begin{align} L(z) = L(x + \operatorname{i}y) = \lambda z + \mu \bar{z} \end{align}$ voraus und vergleiche das mit $\begin{align} x \cdot L(1) + y \cdot L(\operatorname{i}) \end{align}$ , wobei du $\begin{align} L(1) \end{align}$ und $\begin{align} L(\operatorname{i}) \end{align}$ wiederum mit der Vorschrift ermittelst. Beachte, daß $\begin{align} 1, \operatorname{i} \end{align}$ eine Basis von $\begin{align} \mathbb{C} \end{align}$ als $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ -Vektorraum ist.
23.03.2023, 21:32	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
L(1)= $\begin{eqnarray} \lambda1+\mu1=\lambda+\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L(i)=\lambdai+\mu(-i)=\lambdai-i\mu=i(\lambda-\mu) \end{eqnarray*}$ Stimmt das erstmal? bin bei der Aufgabe aus irgendeinem Grund total verunsichert...
23.03.2023, 21:58	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
so habe schonmal weiter gerechnet und komme nach dem sortieren erstmal auf: $\begin{eqnarray} z(\frac{1}{2}L(1)+\frac{1}{2i}L(i))+\overline{z}(\frac{1}{2}L(1)-\frac{1}{2i}L(i)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} z(\frac{1}{2}(\lambda+\mu)+\frac{1}{2i}i(\lambda-\mu))+\overline{z}(\frac{1}{2}(\lambda+\mu)-\frac{1}{2i}i(\lambda-\mu)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} z\lambda+\overline{z}\mu \end{eqnarray}$ Rückwärts $\begin{eqnarray} L(z)=L(x+iy)=\lambdaz+\mu\overline{z}=\lambda(x+iy)+\mu(x-iy)=\lambdax+i\lambday+\mux-i\muy \end{eqnarray}$ Aber das hilft mir doch net weiter oer stehe ich total aufm Schlauch??? zur b) $\begin{eqnarray} L(z)=L(x+iy)=xL(1)+yL(i)=x\lambda+i\lambday=\lambda(x+iy)=L(<br /> z) \end{eqnarray}$ Richtig?
27.03.2023, 14:27	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner der mir noch mal weiter helfen kann? Danke schonmal
27.03.2023, 17:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beginnen wir mit Die Funktion $\begin{align} L: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \end{align}$ mit $\begin{align} L(z) = \lambda z + \mu \bar{z} \end{align}$ , worin $\begin{align} \lambda, \mu \in \mathbb{C} \end{align}$ konstant sind, ist $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ -linear. Dazu sind zwei Dinge zu zeigen: $\begin{align} \text{(1)} \ \ L \left( z_1 + z_2 \right) = L \left( z_1 \right) + L \left( z_2 \right) \end{align}$ für alle $\begin{align} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{align}$ Der Beweis benötigt, daß die komplexe Konjugation mit der Addition verträglich ist. Dann läuft das von alleine durch. $\begin{align} \text{(2)} \ \ L \left( \sigma z \right) = \sigma L(z) \end{align}$ für alle $\begin{align} z \in \mathbb{C}, \, \sigma \in \mathbb{R} \end{align}$ Hier verwendet man, daß die komplexe Konjugation mit der Multiplikation verträglich und auf $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ restringiert die Identität ist.
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29.03.2023, 19:46	NewMathematiker95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank hab die Aufgabe jetzt erledigt

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