Vierfacher Münzwurf (hab ich recht?)

24.03.2023, 21:59

Pippen

Vierfacher Münzwurf (hab ich recht?)

Frage: Wenn eine faire Münze viermal geworfen wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit für 3x Kopf und 1x Zahl genauso groß wie für 2x Kopf und 2x Zahl (bei Nichtbeachtung der Reihenfolge).

Meine Antwort: nein. Das soll falsch sein, also die Wahrscheinlichkeiten gleich. Wer hat Recht. Da muss man einfach nur das Baumdiagramm zeichnen oder die Formel der Binomialverteilung anwenden. Da ergibt sich meine Antwort von selbst. Oder übersehe ich was?

p.s. Das ist eine Quizfrage zur Binomialveeteilung aus einem Kurs zur Wahrscheinlichkeitstheorie.

24.03.2023, 23:16

klauss

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RE: Hab ich Recht?
In einem anderen Test zur elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie findet sich verbindlich:

[attach]56943[/attach]

Wenn die Wahrscheinlichkeit für 3/1 gleich groß sein soll, bin ich gespannt, welche Überraschung die Wahrscheinlichkeitstheorie parat hat.
Oder die unverfängliche Fragestellung hat noch einen anderen Kontext, der bisher verschwiegen wurde.

24.03.2023, 23:31

Pippen

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RE: Hab ich Recht?
Gut, danke. Da bin ich beruhigt, manchmal übersieht man ja etwas oder steht auf dem Schlauch.

24.03.2023, 23:38

klauss

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RE: Vierfacher Münzwurf (Hab ich Recht?)
Es liest sich eingangs aber so, als ob die Musterlösung gleiche Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse behauptet. Wie wird das dann begründet?

Vielleicht war dazu ja z. B. eine Münze abgebildet, auf der kein Kopf enthalten ist. Dann hätten beide Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit Null. Aber diese Idee ist schon so albern, dass man sie nur klein schreiben kann.

25.03.2023, 00:36

Finn_

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Alternative Rechnung vermittels Definition einer passenden Zufallsgröße.

Seien die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ unabhängige und gleichverteilte Zufallsgrößen mit Zielmenge $\begin{eqnarray*} \{0, 1\}, \end{eqnarray*}$ wobei 0 für Kopf und 1 für Zahl steht. Sei

$\begin{eqnarray*} X := X_1+X_2+X_3+X_4. \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit findet sich nun mit der Rechnung

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}P(X=2) &= \sum_{\substack{(x_1,x_2,x_3,x_4)\colon\\ x_1+x_2+x_3+x_4 = 2}} P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3,X_4=x_4)\\ &=\sum_{\substack{(x_1,x_2,x_3,x_4)\colon\\ x_1+x_2+x_3+x_4 = 2}} P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)P(X_3=x_3)P(X_4=x_4)\\ &= \frac{1}{2^4}\sum_{\substack{(x_1,x_2,x_3,x_4)\colon\\ x_1+x_2+x_3+x_4 = 2}} 1 = \frac{1}{2^4}\binom{4}{2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.\end{aligned} \end{eqnarray*}$

28.03.2023, 08:58

Ulrich Ruhnau

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RE: Vierfacher Münzwurf (Hab ich Recht?)

Zitat:

verbessertes Original von Pippen
Meine Antwort: nein. Das soll falsch sein, also sind die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \color{red}{\xcancel{\color{Black}\text{gleich}}} \end{eqnarray*}$ verschieden.

So wäre es richtig.
Begründung: Es gibt 16 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten, was bei den 4 Münzwürfen herauskommt, wenn man die Reihenfolge beachtet. Es gibt also $\begin{eqnarray*} \binom 41=4 \end{eqnarray*}$ davon, wo nur ein Wurf mit Zahl endet und $\begin{eqnarray*} \binom 42=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}=6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, daß es 2 zu 2 ausgeht.

28.03.2023, 14:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Es liest sich eingangs aber so, als ob die Musterlösung gleiche Wahrscheinlichkeiten für beide Ereignisse behauptet. Wie wird das dann begründet?

Möglicherweise war ja auch die Frage etwas anders gestellt:

1) Ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Wurffolge (!) mit 3x Kopf und 1x Zahl genauso groß wie die einer anderen bestimmten Wurffolge mit 2x Kopf und 2x Zahl?

Antwort: Ja, denn überhaupt jede der $\begin{eqnarray*} 2^4=16 \end{eqnarray*}$ möglichen Wurffolgen einer fairen Münze besitzt die gleiche Auftritts-Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ , sei es nun KKZK oder ZKKZ oder eine der anderen 14 Möglichkeiten.

2) Ist die Wahrscheinlichkeit irgendeine Wurffolge mit 3x Kopf und 1x Zahl zu erhalten genauso groß wie die eine irgendeine Wurffolge mit 2x Kopf und 2x Zahl zu erhalten?

Antwort: Nein, denn (s.o.) es gibt $\begin{eqnarray*} \binom{4}{1}=4 \end{eqnarray*}$ Wurffolgen mit 3x Kopf und 1x Zahl sowie $\begin{eqnarray*} \binom{4}{2}=6 \end{eqnarray*}$ Wurffolgen mit 2x Kopf und 2x Zahl. Demzufolge hat die Gleichheit in 1) zwingend die Ungleichheit hier in 2) zur Folge.

28.03.2023, 14:58

klauss

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RE: Vierfacher Münzwurf (hab ich recht?)
Ich habe mich jedenfalls maßgeblich von

Zitat:

Original von Pippen
(bei Nichtbeachtung der Reihenfolge).

leiten lassen, was für die Irritation gesorgt hat.

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