Flussintegral eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten

27.03.2023, 12:18

MasterWizz

Flussintegral eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten

Hi Leute

Grundsätzlich habe ich verstanden, wie Flussintegrale berechnet werden. Nach der Parametrisierung der Fläche, über die integriert wird, setze ich diese Komponenten der Parametrisierung in das zu integrierende Vektorfeld ein und nutze die Transformation $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{o} = |\vec{n}|\cdot\mathrm{d}(u,v) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor der Fläche ist und $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ die Variablen der Parametrisierung.

Jetzt stehe ich allerdings vor dem Problem, dass ich den Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} F(\vec{r}) = ze_{\phi} + \rho e_z \end{eqnarray*}$ durch die Fläche $\begin{eqnarray*} A:\ z= 1-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1\leq x,y\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ berechnen soll und ich nicht genau weiß, wie ich meine Rechenstrategie, die ich immer in den kartesischen Koordinaten verwende (siehe oben), hier anwenden kann. Könnt ihr mir hier bitte einen Tipp geben?

28.03.2023, 10:28

Ulrich Ruhnau

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RE: Flussintegral eines Vektorfeldes in Zylinderkoordinaten

Zitat:

Original von MasterWizz
Jetzt stehe ich allerdings vor dem Problem, dass ich den Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} F(\vec{r}) = ze_{\phi} + \rho e_z \end{eqnarray*}$ durch die Fläche $\begin{eqnarray*} A:\ z= 1-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1\leq x,y\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ berechnen soll ...

Das sieht nach Zylinderkoordinaten aus. Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec r=(x,y,z)=\rho \vec e_\rho+z \vec e_z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec e_\rho=(\cos\phi,\sin\phi,0) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi=\frac{\partial\vec e_\rho}{\partial\phi}=(-\sin\phi,\cos\phi,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec e_z=(0,0,1) \end{eqnarray*}$

Oberflächenintegrale mit Oberflächen, die in der Form $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) \end{eqnarray*}$ gegeben sind, lassen sich über $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=z-f(x,y) \end{eqnarray*}$ berechnen. Man bildet den Gradienten:

$\begin{eqnarray*} \nabla g(x,y,z)=(-f_x,-f_y,1) \end{eqnarray*}$

und würde den Fluß $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^{1} \int\limits_{-1}^{1} \vec F(r) \cdot\frac{\nabla g}{\left|\nabla g \cdot \vec e_z\right|} \dd x \dd y \end{eqnarray*}$ in dieser Weise berechnen. Ich bin mir aber, was die gesamte Oberfläche anbelangt, nicht ganz sicher.

28.03.2023, 17:48

Ehos

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Die Vektorfunktion ist in Zylinderkoordinaten gegeben (obwohl das nicht explizit da steht!)

$\begin{eqnarray*} \vec F(\vec x)=r\cdot \vec e_z+z\cdot \vec e_{\phi} \end{eqnarray*}$

Zylinderkoordinaten lauten bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die normierten Basisvektoren in Zylinderkoordinaten lauten demnach (Rechnung! oder siehe WIKIPEDIA)

$\begin{eqnarray*} \vec e_z=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec e_\phi=\begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit lautet die obige Vektorfunktion mit z=1-r²

$\begin{eqnarray*} \vec F(\vec x)=r\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec e_z}+\underbrace{(1-r^2)}_{z}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec e_{\phi}}=\begin{pmatrix} -(1-r^2)\cdot \sin(\phi) \\ (1-r^2)\cdot \cos(\phi) \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ _______________Formel 1

Die Fläche, über welche integriert werden soll, ist ein nach unten geöffnetes Paraboloid, das durch Rotation der Parabel z=1-x² um die z-Achse entsteht. Dessen Parameterdarstellung mit den beiden Flächenparametern $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , r lautet

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi, z)=\begin{pmatrix} x_1(\phi, z) \\ x_2(\phi, z) \\ x_3(\phi, z) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ 1-r^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach der allgemeinen Theorie wird das Flussintegral wie folgt berechnet

$\begin{eqnarray*} \Phi=\int \vec F(\vec x)\cdot \left (\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}\right )\,\,d\phi dr \end{eqnarray*}$ ______________Formel 2

Wir berechnen darin die beiden Tangentialvektoren, indem wir die obige Parameterdarstellung nach den beiden Parametern differenzieren:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ -2r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Vektorprodukt dieser Vektoren lautet

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ -2r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2r^2\cos(\phi) \\ -2r^2\sin(\phi) \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ _____________Formel 3

Einsetzen der Formeln 1 und 3 in das integral aus Formel 2 liefert

$\begin{eqnarray*} \Phi=\int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^1 \underbrace{\begin{pmatrix} -(1-r^2)\cdot \sin(\phi) \\ (1-r^2)\cdot \cos(\phi) \\ r \end{pmatrix}}_{\vec F(\vec x)}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -2r^2\cos(\phi) \\ -2r^2\sin(\phi) \\ r \end{pmatrix}}_{\left (\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \times \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}\right )}\,\,d\phi dr=\int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^1r^2\,\,d\phi dr=2\pi\cdot \tfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$

28.03.2023, 18:38

MasterWizz

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Richtig stark!! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Mir hat der eine Schritt gefehlt, in dem du die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten noch mal erklärt hast. In dem Moment hat es "Klick" gemacht und ich hab das selbe Ergebnis ausrechnen können, DANKE!!! smile

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